Тема 8. Основы финансовых вычислений

Два способа расчета процентных выплат (простой процент, сложный процент). Изменение стоимости денег во времени. Расчет годовых ставок процента. Понятие о дисконтировании денежных потоков. Внутренняя ставка доходности. Аннуитеты.

 

Давая деньги в долг, кредитор упускает возможность использовать их до момента возврата. Заемщик должен выплатить компенсацию за ожидание кредитора. Компенсация обычно выражается в форме процента..

Процентом называют доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами. Процент начисляется на основную сумму вклада (займа) по определенной процентной ставке с определенной периодичностью, например ежегодно.

Существует несколько основных показателей, необходимых для расчета и по которым можно классифицировать проценты.

Важнейшим показателем при расчете процентов является база начисления – это первоначальная сумма активов, на которую производится начисление процентов или, соответственно, с которой сопоставляется полученная прибыль при вычислении доходности.

Метод начисления – это способ, по которому рассчитывается конечная сумма активов. По методу начисления проценты можно разделить на:

– простые;

– сложные;

– смешанные.

Критерием разделения метода начисления процентов выступает база начисления.

При простых процентах база начисления остается неизменной на всем протяжении срока начисления, т.е. проценты начисляются на ту сумму активов, которая была в начальный момент времени:

Критерием разделения метода начисления процентов выступает база начисления. При простых процентах база начисления остается неизменной на ту сумму активов, которая была в начальный момент времени:

,

где FV – сумма активов в конечный период;

PV – сумма активов в конечный период;

r – ставка процента.

В случае начисления сложный процентов база начисления возрастает каждый раз, когда к основной сумме долга добавляются проценты, начисленные в предыдущем периоде. Такой процесс называется капитализацией процентов. В результате темп прироста конечной суммы активов при начислении по сложной ставке. Формула расчета конечной стоимости активов по сложной ставке процентов имеет следующий вид:

,

где n – число периодов начисления процентов.

 

При начислении процентов по сложной ставке возникают трудности с дробным числом периодов начисления. Например, при начислении процентов в течение 3,5 лет. В таком случае принято применять смешанный метод начисления, при котором сложные проценты начисляются на целое число периодов (в рассматриваемом случае 3 года), а начисление дробной части ведется по простой ставке процента:

где – n – целая часть периода начисления;

k – дробная часть периода начисления.

 

Другим важным показателем, используемым при расчете процентов, является временной интервал, или период начисления процента, – промежуток времени, на протяжении которого происходит начисления процентов.

Существует три основные системы расчета временного интервала:

– немецкая;

– англо-американская;

– французская.

Между собой они различаются по правилам расчета срока вложений и количеству дней в году. Самая точная – англо-американская система не позволяет делать никаких округлений при расчете периода начислений процентов. В результате по этой системе количество дней в году соответствует его реальному значению: 365 или 366, а период начисления рассчитывается исходя из календарного количества дней в каждом месяце: 28, 29, 30, 31.

В менее строгой французской системе учета временного интервала количество дней в году принимается равным 360, а расчет периода начисления производится исходя из календарного количества, как и в американской системе.

Немецкая же система расчета временного интервала может считаться самой терпимый к округлениям, так как она предполагает, что в году 360 дней, а каждом месяце их по 30.

Пример: Депозит в сумме 1 000 000 руб. был размещен в банке под 80% годовых 11.03.01 и востребован 15.08.01. Необходимо определить сумму депозита, которая была получена.

При немецкой системе учета и начисления процентов период начисления определяется:

d = 19+30+30+30+30+15 = 154 дня.

Тогда сумма депозита равна:

1 342 222 руб.

По французской системе получаем:

d = 20+30+31+30+31+15 = 157 дня,

1 348 888 руб.

Соответственно, по английской системе:

d = 20+30+31+30+31+15 = 157 дня,

1 344 109 руб.

Таким образом, для инвестора выгоднее начисление процентов с расчетом временного интервала по французской системе, тогда как банку выгоднее немецкая система расчета.

Любые сколь угодно сложные финансовые вычисления базируются на двух концептуальных методах расчета:

– метода наращивания;

– метода дисконтирования.

Метод наращения используется для вычисления суммы активов, которая будет получена через определенное время, если на нее будут начисляться проценты по действующей ставке, которая, в свою очередь, называется ставкой (r). Ее можно определить по формуле:

,

где FV – будущая стоимость активов;

PV – современная стоимость активов.

Метод дисконтирования по своей сути противоположен методу наращения и используется для определения суммы, которую необходимо уплатить сейчас при заданном уровне доходности операции, для того чтобы получить доход в будущем. Ставка процента, используемая в данном случае, называется ставкой дисконтирования, которая определяется по формуле:

.

Для описания финансовых расчетов будем применять обозначения, которые использовались ранее, в частности:

r – годовая процентная ставка (процент);

PV – сумма активов в начальный период (база начисления);

FV – сумма активов в конечный период;

t – количество времени (временной интервал).

Тогда формула расчета суммы по методу наращения при немецкой системе расчета срока вложений будет выглядеть так:

.

Формула дисконтирования следует из формулы наращения и имеет следующий вид:

.

Полученная сумма (PV) является современной стоимостью будущей суммы (FV), которая образуется через t дней при действующей ставке процента r.

 

Пример. Необходимо определить современную стоимость 1 000 000 руб., которые будут получены через 3 месяца, если рыночная ставка процента равна 56% годовых.

На основе формулы дисконтирования вычисляем:

=877 192 руб.

 

Общим правилом для расчета доходности финансовых инструментов является сопоставление затрат на приобретение актива с доходом, который он генерирует. Основная формула расчета доходности легко выводится из приведенных выше формул:

Множитель в данном случае приводит полученный за любой период времени доход к годовой размерности.