Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задачи, приводящие к понятию производной
Пусть в некоторой окрестности точки и в самой точке определена функция . Определение: Приращением аргумента х в точке называется разность . Определение. Приращением функции в точке называется разность . Это приращение зависит от двух аргументов и Dx. Геометрически Dx и Df означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точки в точку (рис.1). Y B
A
0 X
Рис.1
Пример. Если , то , т. е. при увеличении стороны квадрата, равной 1 на 0,1, его площадь возрастает на 0,21. Используя понятия Dx, Dy, можно дать ещё одно определение непрерывности функции в точке , эквивалентное предыдущему. Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точки и , то она называется непрерывной в точке . В самом деле, этот предел означает, что , т. е. . Определение. Если существует предел
то это число называется производной функции в точке . Эта производная обозначается также одним из следующих символов:
. Этот предел можно записывать также в виде Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке. Выясним теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции, для этого из определения выразим D f. , (где - б.м. при (свойство 30 б.м., модуль 3)). Следовательно, . Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Пример. Функция всюду непрерывна, однако она не дифференцируема при , так как . , а этот предел, как мы выше проверяли, не существует.
1.1 Механический смысл производной. Пусть некоторая точка движется вдоль прямой и за время t проходит путь S(t) (рис.2).
Рис. 2
Тогда за промежуток времени от до она проходит путь
,
и средняя скорость точки на промежутке равна . Мгновенная скорость точки в момент равна пределу при .
.
Итак, мгновенная скорость точки в момент равна производной от пути, проходимого этой точкой по времени при . Это и есть механический смысл производной. 1.2.Геометрический смысл производной. Через две точки и на графике функции проведём прямую. Эта прямая называется секущей к графику функции (рис.3). Её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла наклона к оси Ох равен
. (1) Здесь может быть как положительным, так и отрицательным.
Y
B
D
A С
0 X Рис. 3
Определение. Касательной к графику функции в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точку при . Другими словами, касательная в точке - это прямая, проходящая через , угловой коэффициент которой . Если существует, то из (1) следует, что . В этом случае график функции в точке имеет касательную. Таким образом, есть угловой коэффициент касательной к графику в точке (геометрический смысл производной). Уравнение этой касательной имеет вид Если не существует, то касательной к графику функции в точке провести нельзя (например, при ).
1.3 Примеры непосредственного вычисления производных. Основные правила дифференцирования. Вычислим производные некоторых основных элементарных функций, исходя из определения производной. 1. Постоянная функция . . 2. Показательная функция . (см. эквивалентные б.м., 60). В частности, . 3. Степенная функция . (см. эквивалентные бесконечно малые 70,). В частности, . 4. Логарифмическая функция . В частности, . 5. Тригонометрические функции .
Аналогично . Основные правила дифференцирования. Теорема 1. (правила дифференцирования суммы, произведения и частного). Если функции и дифференцируемы в точке x, то сумма, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: 1. 2. 3. . Примеры: 1. Самостоятельно проверьте, что .
Производная сложной функции и обратной функций
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 197; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.97.248 (0.018 с.) |