Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении Аналитическая геометрия в отличие от элементарной классической геометрии, изучаемой в школе, даёт возможность решать многие геометрические задачи алгебраическими методами, которые не требуют геометрических построений. В её основе лежит понятие системы координат, которое позволяет задавать точки с помощью наборов чисел, а линии и поверхности с помощью уравнений. Определение. Координатной осью Ox на прямой называется прямая с выбранным началом координат – точкой O, направлением и масштабным единичным отрезком [0,1]. При этом каждой точке A на прямой сопоставляется число – её координата x. Соответствующее обозначение A(x ).
Рис. 2.1 Система координат на прямой
При этом имеется взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами – координатами этих точек. Определение. Декартовой системой координат (Д.С.К.) на плоскости называется пара взаимно перпендикулярных координатных осей на этой плоскости, пересекающиеся в общем начале координат точке O и имеющие равные масштабные отрезки. Первая из этих осей называется осью абсцисс (Ox), а вторая – осью ординат (Oy). Координаты проекций точки A плоскости на эти оси называются координатами точки A в Д.С.К. Oxy. Это обозначается в виде A(x,y). При этом имеется взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости и всеми парами действительных чисел – координатами этих точек (рис.2.2).
1
Рис. 2.2 Система координат на плоскости Точка O имеет координаты (0,0). Координаты точек на оси Ox имеют вид (x,0). Координаты точек и оси Oy имеют вид (О,у). Определение. Д.С.К. в пространстве Oxyz называется тройка взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в общем начале координат точке O и имеющих равные масштабные отрезки. Третья ось при этом называется осью аппликат (Oz). Координаты проекции точки A на эти три оси называются координатами точки A в Д.С.К. Oxyz (обозначение A (x,y,z); x– абсцисса, y– ордината, z– аппликата).
При этом имеется взаимно однозначное соответствие между всеми точками пространства и всеми тройками действительных чисел – координатами этих точек. Точка O имеет координаты O (0,0,0). Координаты точек на оси Ox имеют вид (x,0,0), на Oy – (0,y,0), на Oz –(0,0,z). Простейшие задачи аналитической геометрии Рассмотрим две простейшие задачи: нахождение расстояния между двумя точками и деление отрезка в данном отношении. Расстояние между точками A и B будем обозначать через |AB|. Оно обладает следующими свойствами. 1) |AB| 0. |AB|=0 только в том случае, когда A=B. 2) |AB|=|BA|. 3) |AC|≤|AB|+|BC|. Теорема 1. Расстояние между точками A(xA) и B(xB) на оси Ox находится по формуле |AB|=|xB–xA|. Здесь справа записан модуль разности между координатами точек B и A.
Рис.2.3 Расстояние между точками
Теорема 2. Расстояние между точками A(xA,yA) и B(xB,yB) на плоскости Oxy находится по формуле |AB|= . Теорема 3. Расстояние между точками A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) в пространстве Oxyz находится по формуле . Пример. Пусть A(1,1,1),B(2,3,–1). Найдём |AB|.
Определение. Разделить отрезок AB в отношении это значит найти на нём такую точку M, что Теорема 4. Пусть точки A(xA) и B(xB) лежат на оси Ox и точка M(xM ) делит отрезок AB в отношении , тогда . Доказательство. Пусть xB>xA, тогда xA<xM<xB, |AM|=xM–xA, |MB|=xB–xM, из определения точки M получим уравнение: Решим его. Теорема 5. Пусть точка M(xM,yM,zM) делит отрезок AB в отношении , где A(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB), тогда
Пример2. Найти координаты точки M,делящей отрезокAB в отношении , где A(1,1,2), B(4,7,8). Получим: . Следовательно,M(2,3,4). Следствие. Если точка M является серединой отрезка AB, то . Эти формулы получаются из формул теоремы 5 при a=b=1.
|
|||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 115; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.12.41.106 (0.006 с.) |