Cмешанное произведение векторов и его свойства

Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов с вектором .

Оно обозначается символами или :

.

Свойства смешанного произведения.

1⁰ Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

Здесь знак “+” берется в случае, если тройка векторов - правая, “-” если она левая.

2⁰ Векторы - являются компланарными только в том случае, когда их смешанное произведение равно 0:

3⁰ При перестановке местами любых двух векторов смешанного произведения оно меняет свой знак на противоположный; т.е.

4. Постоянный сомножитель можно выносить из любого сомножителя смешанного произведения, т.е. для любых векторов и числа

.

5. Смешанное произведение дистрибутивно для любого сомножителя, т.е. для любых векторов верно:

.

Получим теперь формулу, позволяющую находить смешанное про- изведение через координаты сомножителей.

Теорема. Пусть в базисе векторы имеют координаты соответственно , и , тогда их смешанное произведение записывается в виде определителя:

.

Доказательство. Воспользуемся формулами, выражающими векторное и скалярное произведения через координаты сомножителей, получим:

Пример. Проверим образуют ли векторы базис. Для этого вычислим их смешанное произведение по правилу Саррюса:

Поскольку , то эти векторы не компланарны, т.е. они образуют базис в пространстве, т.к. , то этот базис – левый.

С помощью полученной формулы для смешанного произведения возможно вычисление объемов некоторых тел.

Следствие. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен:

.

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), образованного этими векторами, равен:

.

Пример. Найдем объем тетраэдра с вершинами и .

Данный тетраэдр образован векторами и , поэтому его объем равен:

 

.

Контрольные вопросы

1.В чем отличие скалярного произведения от векторного произведения векторов? Перечислите основные свойства скалярного и векторного произведений.

2. В чем заключается механический смысл скалярного произведения?

3. Что называется смешанным произведением?

4. В чем заключается геометрический смысл смешанного произведения?

1. Укажите условие коллинеарности двух векторов.

Литературы:

Основная [1] § 5,6,7 стр. 34-48

[19] 1.3-1.4, 1.10-1.13 стр. 12-20, 66-72, 83-87

Дополнительная

[30] Глава 2, § 1,2,3, стр. 41-75 Глава 3 § 1,2,3,4, стр. 76-93 Глава 4 § 1,2, стр. 94-109

Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142

Вопросы для практического (семинарского) занятия

1. Определение множества и области на плоскости и в пространстве.

2. Понятие предела в n-мерном пространстве.

3. Определение функции многих переменных.

4. Повторные пределы

5. Непрерывность функции многих переменных.

6. Частные производные.

7. Дифференциал.

8. Дифференцирование сложных функций.

9. Частные производные высших порядков.

10. Формула Тейлора для функции многих переменных

11. Необходимое условие экстремума.

1.Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

2. Инвариантность формы первого дифференциала

3. Формула приближенного вычисления значения функции

4. Правило нахождение производных высшего порядка. Примеры

5. Теоремы Ролля, и ее геометрический смысл

6. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл

1. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

2.Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

3.Основные теоремы о пределах функций.

4.Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).

5.Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.

6.Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

1.Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?

2.Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите пример.

3.Теорема о производной обратной функции.

4. Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.

5.Сформулируйте определение дифференциала функции. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?

6. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

1.Сформулируйте определение точки экстремума функции. Два правила для отыскания экстремумов функции.

2. Нахождение экстремума функции с помощью первой производной

3. Нахождение экстремума функции с помощью второй производной

4. Нахождение точки перегиба функции

5. Формула нахождения асимптоты графика функции

6. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

7. Эволюта и эвольвента плоской кривой

8. Кривизна кривой