Функция. Основные свойства функций

 

Переменная величина, характеризующая какой-то процесс, обычно возникает не индивидуально, а в связи с другими переменными величинами. Дело в том, что процессы, протекающие в окружающем мире, являются достаточно сложными и характеризуются многими переменными величинами, связи между которыми составляют закономерности, проявляющиеся в ходе данного процесса. Кроме того, любой процесс происходит не изолированно, а во взаимодействии с другими процессами.

Пример. Состояние газа при фиксированной температуре характеризуется давлением и объемом , занятым газом. Эти переменные величины связаны зависимостью , где - постоянная (закон Бойля-Мариотта).

Математическую основу изучения связей между переменными величинами составляет понятие функциональной зависимости переменных величин или понятие функции.

Определение. Функцией f с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент .

Буква (или ) употребляется для обозначения функции чаще других, так как является пер-

вой буквой слова "funktion" - "функция". Иногда функции записываются и так: ; и т.д. При таких записях как бы "экономят" букву: и значение функции, и закон соответствия обозначают одной буквой. Понятие функции является основным понятием математического анализа. Что надо знать, чтобы была задана функция? Прежде всего, должна быть известна область значений аргумента . Эта область значений аргумента называется областью определения функции. Затем мы должны знать, как по любому значению из области определения находится соответствующее ему значение

. Правило , согласно которому по любому значению из области определения находится соответствующее этому значение , называется законом соответствия для данной функциональной зависимости.

Таким образом, для того чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения; б) закон соответствия. Обычно функция задается аналитически - какой-нибудь формулой. Иногда закон соответствия задается разными формулами на разных участках ее области определения.

Примеры

1) Если D - множество всех студентов КазНТУ, а. Е - множество всех его институтов, то в качестве функции можно взять соответствие каждому студенту института у, на котором он учится.

2) Пусть D - множество всех векторов в пространстве, а .

Функция сопоставляет каждому вектору D его модуль у Е.

3) Площадь круга радиуса : Область определения этой функции , т.е. ; закон соответствия задан формулой .

4)

Область определения этой функции - отрезок ; закон соответствия задан разными формулами на разных участках: при и при .

5) . Область определения [0;4]. Область значений [0;2].

1.2.1 Способы задания.

а) Табличный. Функция может быть задана в виде таблицы.

Например, пусть температуру Т воздуха измеряют через каждый час. Тогда каждому моменту времени t= 0,l,...,24 соответствует определенное число (таблица 1):

Таблица 1

t				...
Т	Т	T	Т	...	T24

 

Таким образом, получена функция , определённая на множестве целых чисел от 0 до 24, заданная таблицей. Этот способ не даёт полной характеристики функции, поскольку в таблицу часто невозможно внести все точки из области определения функции.

Например,

Таблица 2

х	–1
у

соответствует и функции и .

б) Графический. Графиком функции называется множество точек (х,у) плоскости таких, что и . График даёт наглядное представление о характере поведения функции.

Пусть задана функция . Возьмем на плоскости систему декартовых координат XOY. Рассмотрим множество точек на плоскости , абсциссами которых являются значения аргумента , а ординатами -соответствующие значения функции . Множество называется графиком функции .

Y Г

 

 

 

0 x

Рис. 6

 

Построение графика функции дополняет аналитический {или какой-нибудь другой) способ задания функции, так как делает наглядным ход ее изменения. Во многих технических устройствах график функции возникает и как самостоятельный способ задания функции. Приборы вычерчивают график зависимости одной величины от другой (чаще всего от времени).

в) Аналитический. Аналитическим способом, т. е. с помощью одной формулы можно задавать только элементарные функции. Это самый универсальный способ задания функции, из которого можно получить и таблицу и график.

 

Элементы поведения функции

Ограниченные величины и функции. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое число , что все значения попадают в интервал . Иными словами, для всех значений выполняется неравенство

Для функции ограниченность означает выполнение неравенства

(*)

при всех из области определения. Геометрически это условие означает, что все точки графика функции лежат в горизонтальной полосе между прямыми (рис. 7)

Так, например, ограниченная функция, так как при всех .

Иногда говорят об ограниченности функции лишь на некотором интервале, являющемся частью области определения; это значит, что условие (*) выполняется для рассматриваемого интервала; число может зависеть от взятого интервала.

 

y M

 

 

 

 

x

 

 

 

 

-M

 

Рис. 7

Пример. - функция, не являющаяся ограниченной. В самом деле, какое бы мы не взяли, для тех , для которых будет выполняться неравенство (рис.8).

 

y

 

 

 

x

0 x

 

 

Рис. 8

В то же время на любом интервале эта функция ограничена: (рис.9). Число зависит от этого интервала.

 

 

y

M

- x 0

x

- M

 

 

Рис. 9

Возрастание и убывание функций на интервале. Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (рис.10).

 

y

 

x₁ x₂ x

 

 

Рис.10

1. Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис.11).

2. Запишем эти определения с помощью логических символов - кванторов: для интервала - условие возрастания; - условие убывания.

3. Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности этой функции, а про функцию говорят, что она монотонна на этом интервале.

 

y

 

0 x₁ x₂ x

 

Рис. 11

Пример 10. (рис.12). Интервалы монотонности: на функция убывает; на функция возрастает.

y

 

 

 

 

x

0

Рис.12

Четные и нечетные функции. Пусть задана функция с областью определения . Функция называется четной, если выполняется условие

функция называется нечетной, если

Примеры:

1. . Область определения симметрична относительно начала координат . Функция четная.

2. . Область определения . Функция нечетная.

3. . Область определения (два интервала) симметрична относительно начала координат (множество всех действительных чисел с выброшенным нулем). . Функция нечетная.

4. Из тригонометрии известно, что - нечетные функции; - четная функция.

5. Геометрически четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Действительно, наряду с точкой график содержит точку , так как , точка имеет координаты . Точки и оказались симметричными относительно оси ординат (рис. 13).

 

 

y

 

 

 

x

-x o x

Рис. 13

Таким образом, наряду с произвольной точкой график четной функции содержит и точку, симметричную ей относительно оси ординат, а значит, и весь график четной функции симметричен относительно оси (рис.14).

y

 

 

Четная функция

 

 

 

0 x

 

 

Рис. 14

Рассуждая аналогичным образом, можно установить, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.15).

 

 

y

 

 

 

0 x

 

 

 

 

 

Рис. 15

Примеры:

1. ; Пусть и , тогда, т.е. и . Значит, рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Пусть и , тогда , т.е. и . Таким образом, эта функция является функцией общего вида.

 

Период. Периодические функции. Число называется периодом функции с областью определения , если

Функция , обладающая периодом, называется периодической. Условие предполагает, конечно, что наряду с любым и

Если число - период функции , то и любое целое, кратное , т.е. число где будет периодом . Например, , т.е. - период; , т.е. тоже период. В дальнейшем название периода функции будем применять к наименьшему положительному периоду.

Пример. Из тригонометрии известно, что периоды функций и равны , а периоды равны .

График периодической функции с периодом достаточно построить на
каком-либо интервале с длиной, равной периоду, а затем построенную часть графика сдвигать вдоль оси на и т. д. (рис. 16).

Пример. Периодична ли функция (показательная)? Допустим, что периодична. Тогда , при этом для любого ; отсюда .

Это противоречит нашему предположению о существовании периода, значит, предположение неверно. Функция не является периодической.

 

y

0 l x

Рис.16

 

1.3.1. Сложная функция (функция от функции). Пусть дана функция от аргумента , причем аргумент , в свою очередь, является функцией от независимой переменной :

Возьмем какое-либо значение . В силу функциональной зависимости от этому значению отвечает определенное значение : . Полученному значению , в свою очередь, отвечает определенное значение

( рис.17 )

y

 

 

x

 

 

tt

 

Рис.17

На рис. 17 переменные откладываются на трех осях, изображенных параллельно. В конечном итоге взятому значению соответствует определенное значение , т.е. переменная оказалась функцией независимой переменной .

Получаем . Функция называется сложной функцией от независимой переменной или функцией от функции (функция от функции ). При этом функция называется заданной или внешней функцией, а - промежуточным аргументом. Функции и называют еще составляющими для сложной функции ; говорят также, что является суперпозицией функций и . Чтобы образовать функцию от функции, нужно, чтобы область значений промежуточной переменной "укладывалась" в область определения заданной функции (рис.18). В противном случае среди значений функции будут и такие, от которых значение функции образовать нельзя (рис. 19). В таких случаях сложную функцию (или функцию от функции) можно задать только для тех значений независимой переменной , для которых значения промежуточной переменной попадают в область определения внешней функции .

 

y

Область определения функции

 

 

x

Область значений функции

t

Область определения функции

Рис.18

 

y

 

? Область значений функции

 

x

Область определения функции

t

 

Область определения функции

Рис.19

 

Примеры:

1. . Область значений промежуточной переменной - отрезок [-1;1]; он не укладывается в область определения внешней функции [ее область определения ]. Поэтому сложную функцию можно образовать только для тех значений аргумента , для которых .

2. . Здесь область значений промежуточного переменного , а область определения внешней функции . Значит, в этом случае образовать сложную функцию [т.е. суперпозицию функций и ] нельзя.

Сложные функции могут быть образованы и из большего числа составляющих.

Примеры:

1. у = x³; x = sint, t = 3w + l; у = F(w) = (sin(3w + l))³ - Здесь два промежуточных аргумента х и t, независимая переменная w.

2. .

1.3.2. Обратная функция. Пусть на некотором интервале X задана функция , область значений которой обозначим Y. Согласно определению функции каждому значению соответствует определенное значение . Если же интервал X является интервалом монотонности для f(x), то и каждомузначению отвечает одно вполне определенное значение , для которого у = f(x) (рис.20). Таким образом, в этом случае функциональная зависимость между может рассматриваться и как функция , т.е. можно рассматривать как аргумент, а - как функцию. У функции областью определения является Y, а областью значений - X. Функции и называются взаимно обратными обратная функция к функции ; - обратная функция к функции . Уравнение получается в результате разрешения, если это возможно, уравнения относительно переменной .

Если f и - взаимно обратные функции, то имеют место тождества (рис.21)

Графиком функции является та же линия, которая изображала функцию y = f(x):ведь уравнение - просто иначе переписанное уравнение у = f(x).

 

 

Рис. 20 Рис. 21

Примеры:

1. - обратная к ней функция. Областью определения функции у = 2^х является , этот же интервал является областью значений обратной функции . Областью значений функции служит интервал , он же является областью определения для (рис.22). Обратная функция в этом примере существует потому, что - возрастающая функция на всей числовой оси.

2. (рис.17).

 

Рис.22 Рис.23

 

Функция несколько неудобна тем, что, вопреки привычному, ее аргументом является , а не и значением функции служит , а не . Неудобство это скорее психологического характера, однако, чтобы его избежать, наряду с функцией рассматривают функцию , которую также называют обратной функцией к функции . Функция получается из переменой ролей и :

 

 

обратные функции к

Примеры:

 

1.

 

 

обратные функции к

2.

 

 

обратные функции к

 

График обратной функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

При таком перегибании плоскости график нашей функции отобразится симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.24). На рис.25 показаны графики взаимно обратных функций и .

Рис.24 Рис.25

1.3.3.Неявные функции. Иногда функциональная зависимость величин у и х задается некоторым уравнением, связывающим х и у, но нерешенным ни относительно у, ниотносительно х. Например, уравнение прямой Правда, его очень просто решить относительно у: , и мы получаем обычное задание функции. Однако уравнение, связывающее х и у, не всегда удается разрешить относительно у или х. Таково, например, уравнение . Однако и здесь значениям х отвечают определенные значения у (например, значению х = 0 отвечает у = -2). В таких случаях говорят, что функция у - неявная функция от х, она задана уравнением, связывающим x и у. Подобным образом задаются многие кривые в аналитической геометрии. Например, - уравнение окружности (с центром в начале координат и радиуса ). Здесь можно явно выразить у через х: , но получаются две функции, соответствующие "+" или "-" перед корнем (верхняя и нижняя полуокружности). Точно так же уравнение эллипса заданием неявной функции. В самом общем виде уравнение, задающее неявную функцию, можно записать как

где буква F "скрывает" те операции над х и у, которые следует проделать в основной (левой) части уравнения. Исследовать неявные функции почти всегда труднее.

1.3.4. Параметрическое задание функции. Кривые на плоскости часто задаются параметрическими уравнениями. В этих уравнениях координаты х и у точки на кривой выражены как функции третьего, вспомогательного переменного t (параметра):

Это новый, иногда наиболее удобный, способ задать функциональную зависимость между х и у. Считаем, что функция имеет обратную: . [т.е. решаем уравнение относительно ]. Поставив это во второе уравнение, получим:

т.е. у есть функция от х (сложная функция).

Примеры:

1)

2)

 

параметрические уравнения: 1) окружности радиуса , 2) эллипса с полуосями а и b.

Весьма часто параметрическое задание линии возникает в механике. Там x и у - координаты движущейся точки, меняющиеся в зависимости от времени t, а линия - траектория этой точки.

 

Контрольные вопросы:

 

1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

2. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.

3. Четность, нечетность функция

4. Период и периодичность функции

5. Операции над множествами, их свойства

6. Область определения произведения и суммы функции

 

Литература:

 

Основная [2] Глава 1 § 1.1-1.11 стр. 9-31 Глава 2 § 2.1-2.12 стр. 34-64

Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85

[19] 2.1-2.4 стр. 138-162