Пространства. Координаты вектора

Векторы используются для описания величин, имеющих определённое направление. Примерами таких величин являются сила, скорость, перемещение.

Определение. Вектором называется отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок.

Вектор с началом в точкеA и с концом в точкеB обозначается через , кроме того, вектор можно обозначать одним символом, например .

Вектор, у которого начало совпадает с его концом, называется нулевым вектором и обозначается через . Длина отрезка, изображающего вектор , называется модулем этого вектора и обозначается | |.

Векторы , параллельные одной прямой называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и считаются равными, если они равны по модулю, коллинеарны и одинаково направлены. Из этого определения следует, что при параллельном переносе вектор не меняется, по этому в качестве начала вектора можно выбрать любую точку.

Линейными операциями над векторами называются умножение вектора на число и сложение векторов.

Определение. Произведением вектора на число a называется такой вектор a , что выполняются три условия.

1) | a |=| a || |

2) a ||

3) Вектор a сонаправлен вектору , если a>0 и направлен в противоположную сторону, если a<0.

Пример1. Ниже изображены вектора ; 0,5 ; –2 .

 

 

0.5

-2

 

 

 

Рис. 2. 4 Умножения вектора на число

Определение. Суммой векторов и , исходящих из одной точки, называется вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, образованного векторами и , исходящий из той же точки.

Рис. 2.5 Сложение векторов

 

 

 

Если вектора и не исходят из одной точки, то их начала необходимо с помощью параллельного переноса перенести в одну точку. Это определение называется правилом параллелограмма. При сложении большого числа векторов удобнее пользоваться следующим определением, равносильным предыдущему.

Суммой векторов , ,..., , у которых начало вектора совпадает с концом (i=2¸k), является вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора .

Рис. 2.6 Сумма k векторов

 

 

Пример2. Если вектора , , совпадают с тремя рёбрами параллелепипеда исходящими из одной вершины, то их сумма + + совпадает с диагональю этого параллелепипеда, исходящей из той же вершины (рис.2.6)

 

Рис. 2.7 Сумма трех векторов

 

 

 

Эти линейные операции над векторами обладают следующими свойствами.

1. 1× =

2. 0× =

3.

4.

5.

6.

7. a

Операция разности векторов и сводится к двум линейным операциям: , однако часто удобней пользоваться следующим специальным определением, равносильным вышеприведённому.

Определение. Разностью векторов и , исходящих из одной точки называется вектор, соединяющий конец вектора с концом вектора и направленный в сторону конца вектора .

Рис. 2.8 Разность векторов

 

§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора

 

Понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано для строк матрицы.

Определение. Линейной комбинацией векторов , ,..., с коэффициентами C₁,C₂,...,C_n называется вектор C₁ +C₂ +...+C_n .

Эта комбинация обладает двумя основными свойствами.

1) Если векторы , ,..., коллинеарны некоторой прямой, то любая их линейная комбинация будет коллинеарна той же прямой.

Векторы , ,..., называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2) Если векторы , ,..., компланарны некоторой плоскости, то любая их линейная комбинация компланарна той же плоскости.

Определение. Векторы , ,..., называются линейно зависимыми, если существуют такие числа C₁,C₂,...,C_n, не все равные нулю, что C₁ +C₂ +...+C_n =0

В противном случае векторы , ,..., называются линейно независимыми.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов называется базисом.

Множество всех плоских или пространственных векторов в которых определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, являются простейшими примерами векторного пространства.

Определение. Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше семи свойствам называется векторным пространством.

Оказывается, что в любом векторном пространстве всегда можно выбрать несколько векторов, из которых с помощью линейных комбинаций однозначно можно получить любой вектор этого пространства и которые являются базисными.

Определение. Любой ненулевой вектор на прямой называется

базисным вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов плоскости называется базисом этой плоскости. Любая тройка некомпланарных векторов называется базисом пространства.

Теорема о базисе. Любой вектор (на прямой, плоскости или в пространстве) единственным образом записывается в виде линейной комбинации соответствующих базисных векторов. То есть,

1) на прямой:

2) на плоскости:

3) в пространстве:

Доказательство.

1) Случай прямой.

Пусть вектор лежит на прямой L, – базисный вектор этой прямой. Отложим вектора и из некоторой точки O на прямой, вектор возьмём в качестве масштабного единичного отрезка на L, в результате на L образуется координатная ось. Пусть конец вектора есть точка A, и x её координата на этой оси, тогда согласно определению произведения вектора на число имеем =x , т.е. =x .

A(x)

Рис. 2.9 Координаты вектора на прямой

L

 

2) Случай плоскости.

Пусть векторы , и лежат в плоскости .Отложим их из некоторой точки O этой плоскости, конец вектора обозначим через A.

Проведём через вектора и оси Ox и Oy с единичными отрезками

и , через точкуA проведём прямые параллельные этим осям, их точки пересечения сOX и Oy обозначим черезA₁ и A₂ соответственно.

 

X

Y

A1(x)

A2(y)

A

O

Рис. 2.10 Координаты вектора на плоскости

 

 

П

 

 

Координату точки A₁ наOx обозначим через x, а координату точки A₂ на Oy – черезy. Тогда, используя определение суммы векторов и предыдущий случай, получим: = = + =x +y .

3) Случай пространства. Отложим вектора , , и из некоторой точки O, через вектора , , и проведём оси Ox, Oy, Oz. Из конца вектора , точки A проведём три плоскости, параллельные парам осей Ox,Oy; Oy, Oz и Ox, Oz. Их точки пересечения с осями Ox, Oy, Oz обозначим через A₁, A₂, A₃, а координаты этих точек на осях через x, y, z. В результате мы имеем. = = + + =x + y + z .

A1

A2

A3

X

Y

Z

Рис. 2.11 Координаты вектора в пространстве

 

Проверим, что коэффициенты (x, y, z) линейной комбинации определяется однозначно. Допустим противное, пусть вектор можно записать двумя способами: = x₁ +y₁ +z₁ и = x₂ +y₂ +z₂ , где x₁ ¹x₂ или y₁¹y₂ , или z₁¹z₂. Вычитая из первого равенства второе, получим = (x ₁- x ₂) + +(y₁-y₂) +(z₁-z₂) .

Здесь справа стоит вектор, выражающий диагональ параллелограмма или параллелепипеда, или отрезок на одной из осей Ox, Oy, Oz, который не является нулевым. Противоречие.

Из последнего рассуждения следует, что базисные вектора линейно независимы.

Определение. Коэффициенты линейной комбинации базисных векторов, выражающие вектор на прямой, в плоскости или в пространстве называются, координатами вектора в данном базисе.

Вектор, лежащий на прямой, имеет одну координату x, на плоскости – две координаты x, y; в пространстве – три координаты x, y, z.

Векторы удобно отождествлять с координатами в некотором выбранном базисе. Так, вектор в пространстве записывают в виде:

 

=(x,y,z) или ={x,y,z}

 

Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

 

 

Пусть в пространстве имеется декартова система координат Oxyz. С ней связан стандартный базис из единичных взаимно перпендикулярных векторов, расположенных вдоль осей Ox, Oy, Oz. Эти

 

базисные ве

X

Y

Z

A(x,y,z)

Рис. 2.12 Радиус-вектор точки

ктора обозначаются через , , .

 

 

 

Выясним связь между введёнными ранее понятиями координат точки в системе Oxyz и вектора в базисе { , , }.

Определение. Вектор, начало которого находится в начале координат,а конец в точке A, т.е. вектор , называется радиус–вектором точки A.

Если (x,y,z) – координаты точки A в системеOxyz, то радиус–вектор можно записать в виде =x +y +z . Поэтому координаты точки A(x,y,z) в системе Oxyzи вектора в базисе { , , } – это одни и те же числа.

Теорема. Пусть в декартовой системе координат Oxyz заданы две точки A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B), тогда в базисе { , , } вектор имеет координаты ((x_В– x_А),(y_В–y_А),(z_В–z_А)).

Доказательство. Запишем вектор в виде:

 

= – = +(–1)

 

и воспользуемся результатом предыдущей теоремы для базиса { }, получим:

.

 

Пример3. ПустьA(1,–1,1), B(2,3,4), тогда в базисе { , , }

 

= +4 +3 , т.е. ={1,4,3}.

 

Иногда координаты вектора в базисе { , , } удобно представлять себе в виде проекций.

Определение. Проекцией вектора на координатную ось L называется длина проекции вектора на L, взятая со знаком “+”, если угол между и положительным направлением оси острый, и “–“, если он тупой.

A

B

L

A

B

L

L

a)

б)

Рис. 2.13 Проекция вектора на ось

 

 

При параллельном переносе вектора, его проекция на ось L не меняется. Проекция обозначается символами . Несложно проверить, что = и = + . Очевидно, что если имеет координаты то , , .

Отсюда получим следующую теорему.

Теорема. Пусть вектор имеет координаты в базисе , тогда , , .

 

Определение. Проекцией вектора на ненулевой вектор (обозначение ) называется его проекция на ось L, проведенная через вектор (см. рис. 2.14).

L

Рис2.14