Предел переменной величины. Предел последовательности.

 

Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен тот, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной х, становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины. Говорят, что переменная величина стремится, неограниченно приближается к постоянному числу а (своему пределу). Дадим более подробно соответствующее определение.

Переменная величина х стремится к пределу a (a - постоянное число), если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой..

То же самое определение можно сказать и другими словами.

Определение. Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если - абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой.

Тот факт, что число а, является пределом переменной величины, записывается следующим образом:

( - первые буквы слова limes - предел) или х — > a

Уточним, что следует понимать под словами "величина становится сколь угодно малой", имеющимися вопределении предела. Зададимся произвольным положительным числом , тогда, если, начиная с некоторого момента в изменении переменной величины х, значения сделаются, и будут становиться меньше, чем это .

Переменная величина стремится к пределу , если для любого положительного . начиная с некоторого момента в изменении переменной , выполняется неравенство .

Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство означает, что находится в -окрестности точки , т.е. в интервале (рис. 26). Таким образом, определение предела в геометрической форме: число является пределом переменной величины , если для любой (произвольно малой) -окрестности точки можно указать такой момент в изменении переменной начиная с которого все ее значения
попадают в указанную -окрестность точки a.

Необходимо представлять себе процесс приближения к пределу в динамике. Взяли некоторую - окрестность точки a; начиная с некоторого момента в изменении , все значения попадают в эту окрестность. Теперь возьмем более тесную - окрестность точки a ; начиная с некоторого (более отдаленного в сравнении с первым) момента в изменении , все ее значения попадут в - окрестность точки а и т.д. (рис. 1).

 

 

 

 

 

рис. 1

Введя определение предела переменной величины, мы постарались его подробно обсудить и расшифровать. Однако в этом определении осталась нераскрытой одна, весьма существенная, деталь; что следует понимать под словами "начиная с некоторого момента в изменении переменной величины "? Это ясно тогда, когда процесс изменения переменной протекает во времени: начиная с некоторого момента (времени). Но не всегда мы имеем дело с переменными величинами, изменение которых протекает во времени. Как же быть в этих случаях? Выход состоит в расшифровке этого места в общем определении предела переменной специфическим образом для каждого типа переменных величин: по-своему для последовательностей, по-своему для функций и т.д.

Предел последовательности. Прежде всего необходимо вспомнить определение последовательности: если все значения, принимаемые переменной величиной х, можно занумеровать помощью всевозможных натуральных чисел х_},х₂,...х_п,..., причем значение с большим номером принимается после значения с меньшим номером, то говорят, что переменная х пробегает последовательность значений х_х,х₂,...х_п ...; или просто, что имеется последовательность (числовая последовательность).

Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой = N и ЕÌR.

Она обозначается символом , где , или короче, . Число , зависящее от n, называется n – ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.

 

.

 

Примеры:

а) Последовательность является постоянной и состоит из равных чисел (единиц): ;

 

б) . Для неё

 

в)

 

г) .

Для последовательностей содержащееся в общем определении предела переменной высказывание "начиная с некоторого момента в изменении " должно означать - "начиная с некоторого номера", так как члены с большими номерами следуют (по определению последовательности) за членом с меньшим номером. Итак, мы получаем следующее определение предела последовательности:

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого числа найдётся число , что все числа , у которых , удовлетворяют неравенству .

Соответствующее обозначение

 

.

.

Неравенство можно также записывать в виде или . В этих записях подчеркнуто, что величина х_п становится сколь угодно мало отличимой от a, когда номер члена неограниченно возрастает. Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой -окрестности числа а найдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N, номерами попадают в эту окрестность, вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 2). Это все или некоторые из членов .

 

 

x₁ x₂ x_N+1 a x_N+2 x_N x₃

 

 

Рис. 2

Число в нашем определении зависит от : N = N(). Как говорилось ранее, определение предела следует понимать в развитии, вдинамике, в движении: если мы возьмем другое, меньшее значение для , например то найдется, вообще говоря, другой номер N_x > N, такой, что неравенство , выполняется при всех .

Будем записывать определение предела с помощью логических символов (кванторов). Определение предела последовательности с помощью кванторов выглядит так:

В рассмотренных выше примерах предел имеют последовательности а) и г), а последовательности б) и в) пределов не имеют.

Пример. Доказать, что .

Зададим произвольное . В соответствии с определением мы должны найти такое число , что выполняется неравенство .

Решим это неравенство относительно . Получим . В качестве берем любое целое больше .

Итак, для произвольного найдено число , что выполняется неравенство

.

n

n

Рис. 3

Это и означает по определению, что (Рис. 3) .

 

Предел функции

 

Дадим определения пределов функции при

.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, этой точки.

Определение. Число А называется пределом функции при , если для каждого найдётся такое d>0, что для всех выполняется неравенство , т. е.

.

 

(Обозначается или

 

 

A

a

Y

M

X

 

 

Рис.4

 

Определение. Число А называется пределом слева функции при ,

 

если .

(Обозначается или ).

Определение. Число А называется пределом справа функции при ,

если .

(Обозначается или ).

Теорема. существует в том и только в том случае, когда существуют пределы , и они равны между собой.

Пример. .

В этом примере рассматривается только , поэтому .

 

.

не существует, поскольку .

Определение. Число А называется пределом функции при , если для каждого e>0 найдётся такое число N, что при любом выполняется , т. е.

.

(Обозначается ).

Определение. Число А называется пределом функции при , если .

(Обозначается .

Определение. Число А называется пределом функции при , если . (Обозначается ).

Последнее определение подразумевает, что определена в некотором интервале , пятое определение подразумевает, что она определена в интервале , а из шестого определения следует, что она определена при и , т. е. в промежутках .

Теорема. Предел существует в том и только в том случае, когда существуют и они равны между собой.

Примеры:

1. ;
2. 

Докажем, что . Для возьмем , тогда при

.

 

Свойства функций и последовательностей, имеющих предел. Рассматриваемые ниже свойства справедливы для всех видов пределов функций и пределов последовательности. Однако для краткости будем формулировать их для одного предела (при ).

1) Предел постоянной функции (или последовательности) равен этой постоянной, т. е.

.

2) Если предел функции (последовательности) существует, то он единствен.

 

Определение. Функция называется ограниченной сверху в промежутке D, если найдётся такое число С, что для всех x принадлежащих D, . Если , то такая функция называется ограниченной снизу в D.

Функция, ограниченная сверху и снизу в D, называется ограниченной в D. Если D не упоминается, то подразумевается, что D=R.

 

Y

O

N

Х

 

 

Рис.5

Примеры:

1) Функция ограничена, т. к. для всех x.

2) Функция ограничена снизу, но не сверху. На промежутке она ограничена.

Определение. Последовательность называется ограниченной (сверху, снизу), если найдётся такое С, что для всех , , (или , или ).

Примеры:

1. – ограничена.

2. – ограничена снизу.

3) Если функция имеет предел , то она ограничена в некоторой окрестности точки a.

При существовании пределов функция ограничена в соответствующих интервалах

4) Любая последовательность, имеющая предел, ограничена.

Определение. Функция называется неубывающей (возрастающей) в интервале

(а, ), если для любых из этого интервала выполняется неравенство

().

Если , имеет место

(),

то такая функция называется невозрастающей (убывающей) в (а, ). Такие функции называют монотонными на (а; ).

Определение. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для любых выполняется

.

Примеры:

1. Любая постоянная функция или последовательность не возрастает и не убывает.

Функция монотонна, убывает на интервале (-¥,0) и возрастает на интервале (0,+¥).

Теорема. Пусть функция монотонно возрастает (убывает) на интервале (а, ) и ограничена сверху (снизу) на этом интервале числом С, тогда существует

и .

Здесь число может быть равным +¥, тогда рассматривается .

Y

X

C

A

a

b

а)монотонное зрастание

Х

Y

A

C

a

b

б) монотонное убывание

 

 

Рис.6

Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то существует и число , что

Аналогичное утверждение можно сформулировать для и .

Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки , кроме этой точки, для функций выполняется соотношение и пусть пределы и существуют и равны между собой, . Тогда также существует и равен (см. рис 7).

A

X

Y

a

 

Рис.7

 

Сформулируйте и докажите аналогичные утверждения для последовательностей.