Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Бесконечно большие функции и их свойства
Определение. Функция y = F(x) называется бесконечно большой (б.б.) при x® a, если .
Это обозначается символом , хотя предел этой функций при не существует. Пример. Функция является б.б. функцией при , так как
.
Очевидно, что любая б.б. функция не ограничена в окрестности точки . Если и в некоторой окрестности точки а функция (соответственно ), то еще пишут (соответственно ). Отметим следующие свойства б.б. функций. 1) Сумма двух б.б. одного знака при является б.б. при . 2) Сумма б.б. функции при и ограниченной в окрестности точки а функции является б.б. при . Пример. ,так как х- есть б. б. при , а б. м., следовательно, ограниченная функция при . 3) Если б. б. при , а в некоторой окрестности точки а, то функция является б. б. при . В частности, произведение двух б. б. и произведение б. б. на функцию, имеющую ненулевой предел, является б. б. Пример. , так как х – б.б. и . 4) Если б. б. при , то б.м. при . 5) Если б.м. при и при то является б.б. при . Пример: , так как б. б. одного знака при . 3.3 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших Определение. Бесконечно малая называется б.м. высшего порядка малости по сравнению с б.м. при в случае, если найдётся б.м. при такая, что . Соответствующее обозначение . Пример: При , так как и есть б.м. при . При : Определение. Бесконечно малые при называются эквивалентными, если . Обозначение ~ . Подобное определение даётся и для б.б. функции. Пример. Б.м. эквивалентны при , это следует из первого замечательного предела. Это отношение эквивалентности удовлетворяет трём свойствам 1) ~ ; 2) ~ ~ ; 3) Если ~ и ~ , то ~ . Теорема. Из ~ следует, что . Теорема. Пусть есть б. м. при , тогда: 1) ; 2) ~ ; 3) ~ ; 4) ~ ; 5) ~ ; 6) ~ , ; 7) ~ . Эти эквивалентные б.м. позволяют более просто вычислять некоторые пределы с помощью следующей теоремы. Теорема. Пусть ~ при , тогда .
При этом оба записанных предела существуют одновременно. Если одно из выражений б. б., то другое также является б. б. Пример. ,
так как ~ ~ ~ ~ . Непрерывность функции Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия: 1) существует ; 2) существует ; 3) . В символической форме это определение записывается так: . Функция называется непрерывной в точке слева (справа), если выполняются три условия:
1) ; 2) . Очевидно, что функция является непрерывной в точке в том и только в том случае, когда она непрерывна в этой точке слева и справа. График непрерывной функции представляет из себя непрерывную линию. Теорема (о непрерывности монотонной функции). Пусть функция монотонна (монотонно возрастает или монотонно убывает) на отрезке [а, ] и принимает все значения из отрезка , тогда она непрерывна в каждой точке интервала (а, ), непрерывна в точке а справа и в точке слева. (рис.9)
Рис. 9 Из этой теоремы следует, что все основные элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своей области определения, а во всех граничных точках области определения, принадлежащих ей, они непрерывны справа и слева. Это следует из того, что любую точку из области определения основной элементарной функции можно включить в отрезок, где эта функция монотонна и принимает все значения из отрезка . Например, функция непрерывна во всех точках интервала (–1,1), непрерывна в точке справа и в точке слева, так как оно монотонно возрастает в и для
. Теорема Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции 1) , 2) , 3) при . также непрерывны в точке . Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке и
Рис. 10 Следствие 1. Если и функция непрерывна в точке , то .
Пример. .
Следствие 2. Любая элементарная функция непрерывна во всех внутренних точках своей области определения, а в граничных точках отрезков области определения непрерывна справа или слева. Это следует из теорем 1, 2, 3. Классификация точек разрыва Определение. Точка , в которой нарушается хотя бы одно условие непрерывности функции , называется точкой разрыва этой функции. Рассмотрим точку разрыва функции , в некоторой окрестности которой (кроме быть может ) эта функция определена. Возможны три случая: 1. Если не определена или , то называется точкой устранимого разрыва.
Если эту функцию изменить в точке , т. е. положить
то функция будет непрерывной в точке , т. е. этот разрыв устраняется. Пример. Функция имеет устранимый разрыв в точке . Если положить то функция буд
Рис.11 График функции 2. Если , то точка называется точкой разрыва первого рода функции . Пример. Для функции точка является разрывом первого рода (рис.12)
Рис.12 3. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то точка называется точкойразрыва второго рода функции . Пример. Для функции , точка является разрывом второго рода, так как (не существует) (рис.13).
Рис.13
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 272; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.36.203 (0.041 с.) |