Способ вспомогательных секущих сфер

В ряде случаев в качестве вспомогательных секущих поверхностей, вместо плоскостей, целесообразно применять сферические поверхности (рисунок 127).

Известно, что если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то поверхности сферы и тела вращения пересекаются по окружности. И если ось вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость полученная окружность проецируется в виде отрезка прямой. Следовательно, если оси двух поверхностей вращения пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций, для определения линии пересечения этих поверхностей можно воспользоваться вспомогательными сферами с центром в точке пересечения осей.

Рисунок 127 Рисунок 128

 

На рисунке 128 показаны две поверхности вращения (фронтальные проекции): цилиндр и конус, у которых оси пересекаются. Плоскость, образованная пересекающимися осями, параллельна плоскости проекций П₂. Если точку пересечения осей тел вращения принять за центр сферы (шара) и провести сферическую поверхность, пересекающую поверхности цилиндра и конуса то она пересечет их по окружностям, плоскости которых будут фронтально проецирующими плоскостями и на плоскость П₂ проецируются в виде прямых линий, перпендикулярных к осям конуса и цилиндра.

На рисунке 128 линия 1₂-2₂ – фронтальная проекция линии пересечения цилиндра со сферой. Линия 3₂-4₂ – фронтальная проекция линии пересечения конуса со сферой. В пересечении линии 1₂- 2₂ с линией 3₂-4₂ получены точки N и М – точки принадлежащие линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса. Аналогично можно построить ряд точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей тел вращения, если из точки пересечения осей тел вращения провести ряд концентрических сферических поверхностей, пересекающих оба тела вращения.

Пример. Построить линию пересечения поверхностей цилиндра и конуса, оси которых пересекаются и расположены в общей плоскости симметрии, параллельной плоскости П₂.

На рисунке 129 показано построение проекции линии пересечения этих поверхностей.

 

Рисунок 129 Рисунок 130

 

Из точки пересечения осей проведены две сферы. Сфера минимального радиуса R₁ должна вписаться в одну из поверхностей, а вторую пересечь (касаться очерковых образующих одной поверхности и пересекать крайние образующие второй). Окружности сечений этой сферы с поверхностями цилиндра и конуса проецируются на плоскость П₂ в виде отрезков прямых. Их пересечение определяет положение проекции 2₂ точки, принадлежащей линии пересечения заданных поверхностей. Точки 1 и 3 найдены аналогично, с помощью секущей сферы радиуса R₂. Точки А и В расположены на пересечении очерков заданных поверхностей. Найденные точки А₂, 1₂, 2₂, 3₂ и В₂, соединенные лекальной кривой, являются фронтальной проекцией линии пересечения поверхностей цилиндров.

Если в пересекающиеся поверхности можно вписать общую секущую сферу, То линия их пересечения распадается на две плоские кривые (рисунок 130).

Если у двух пересекающихся поверхностей вращения имеется общая плоскость симметрии, но оси этих тел не пересекаются, то для построения линии их пересечения пользуются способом эксцентрических сфер. Этот способ рекомендуется изучить самостоятельно по указанной литературе.