Пересечение прямой линии с поверхностью

Частные случаи

 

Разберем несколько частных случаев пересечения прямой линии с поверхностью. Характерными для них являются перпендикулярность ребер или образующих поверхности или самой прямой к одной из плоскостей проекций. Вследствие этого, одна из проекций искомых точек пересечения (точек «входа» и «выхода») определяется без дополнительных построений и остается построить по ней другую проекцию.

На рисунок 109 даны проекции прямой призмы, стоящей основанием на горизонтальной плоскости проекций. Так как боковые грани призмы занимают горизонтально проецирующее положение, то горизонтальная проекция точек пересечения заданной прямой с поверхностью призмы (1₁ и 2₁) определяются без дополнительных построений, а фронтальные проекции (1₂ и 2₂) находятся из условия принадлежности точек заданной прямой.

 

 

Рисунок 109 Рисунок 110 Рисунок 111

 

На рисунке 110 даны проекции прямого цилиндра, занимающего фронтально проецирующее положение. Поэтому фронтальные проекции точек пересечения заданной прямой с поверхностью цилиндра (1₂ и 2₂) определяются без дополнительных построений, а горизонтальные проекции точек 1₁ и 2₁– по принадлежности точек прямой.

На рисунке 111 прямая а перпендикулярна П₁, поэтому горизонтальные проекции точек ее пересечения с гранью и основанием пирамиды совпадают (1₁=2₁). Фронтальная проекция одной из них (2₂), принадлежащая основанию пирамиды, находится на фронтальной проекции основания. Для построения фронтальной проекции точки 1₂, лежащей на боковой грани, достаточно через проекцию 1₁ провести любую прямую, принадлежащую этой грани. Фронтальная проекция 1₂ будет находиться на фронтальной проекции введенной прямой.

Аналогичный пример приведен на рисунке 111, где прямая b перпендикулярна к плоскости П₂, поэтому проекции 3₂ и 4₂ искомых точек определяются без дополнительных построений. Горизонтальная проекция 3₁ определена с помощью дополнительной прямой SM, проведенной через проекцию 3₂ , а 4₁ - c помощью дополнительной прямой SN, проведенной через проекцию 4_2.

 

Общие случаи

 

Если заданы прямая общего положения и поверхность общего положения, то для определения точек их пересечения (точки входа и точки выхода), нужно несколько раз решить задачу на пересечение прямой общего положения (ребер или образующих) с проецирующей плоскостью, проведенной через заданную прямую. Полученные точки соединить, учитывая видимость поверхности относительно плоскостей проекций.

 

Алгоритм решения

Чтобы определить точки пересечения прямой общего положения с геометрическим телом нужно:

1) Через прямую ввести плоскость (удобную для решения).

2) Построить проекции сечения введенной плоскости с заданной поверхностью.

3) Найти точки пересечения заданной прямой с контуром фигуры сечения. Это и будут искомые точки входа и выхода.

Пример определения точек пересечения прямой с призмой приведен на рисунке 112.

Призма пересекается прямой MN. Для определения точек пересечения K и F прямой MN с поверхностью призмы:

Через прямую MN проведена плоскость Р.

Найдено сечение поверхности призмы плоскостью P – треугольник 123.

Точки пересечения прямой MN с контуром сечения (с линией пересечения) – K, R и будут точками входа и выхода. На рисунке 113 показано нахождение точек пересечения прямой МN с поверхностью наклонной призмы

Через прямую МN проведена фронтально проецирующая плоскость P (на чертеже задана фронтальным следом Р₂).

Построено сечение поверхности призмы плоскостью P – треугольник 123.

 

 

Рисунок 112 Рисунок 113

 

Определены точки K и F пересечения прямой MN с поверхностью наклонной призмы.

Определена видимость прямой: на горизонтальной проекции с помощью конкурирующих точек 4 и 5; на фронтальной проекции – с помощью конкурирующих точек 6 и 1.

Иногда задачи решаются проще, если вместо вспомогательной проецирующей плоскости через заданную прямую провести плоскость общего положения.

Пример. Найти точки пересечения прямой АВ общего положения с поверхностью наклонного цилиндра (рисунок 114).

Рисунок 114

 

Решение:

Через заданную прямую АВ проведена вспомогательная плоскость Р, параллельная образующим цилиндра.

Плоскость Р задана двумя пересекающимися прямыми АВ и а. Прямая а проведена параллельно образующим поверхности цилиндра.

Построена фигура сечения цилиндра с плоскостью Р.

Для этого, найден горизонтальный след плоскости Р – Р₁. На пересечении следа Р₁ с основанием цилиндра определены проекции точки 1₁ и 2₁. Через эти точки и пройдут горизонтальные проекции образующих, по которым вспомогательная плоскость Р рассекает поверхность цилиндра.

В пересечении образующих, проходящих через проекции точек 1₁ и 2₁, с проекцией А₁В₁ получены проекции точек K₁ и F₁ – горизонтальные проекции точек пересечения прямой АВ с поверхностью наклонного цилиндра. Фронтальные проекции K₂ и F₂ определятся по принадлежности этих точек заданной прямой АВ.

Определена видимость прямой, относительно поверхности, цилиндра методом конкурирующих точек.

 

РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ

 

Разверткой поверхности геометрического тела называется фигура, полученная совмещением поверхности этого тела с плоскостью чертежа.

Построение разверток таких поверхностей, как прямая призма, прямой круговой цилиндр, пирамида, прямой круговой конус, выполняется без применения специальных приемов. Из рисунка 115 видно, что развертка поверхности прямой трехгранной призмы состоит из трех прямоугольников – боковых граней призмы и двух треугольников – оснований призмы.

Рисунок 115

 

Развертка поверхности прямого кругового цилиндра (рисунок 116) представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина – длине окружности основания цилиндра, и две окружности, равные окружности оснований цилиндра.

Рисунок 116

 

Развертка поверхности трехгранной пирамиды (рисунок 117) состоит из трех треугольников – боковых граней и одного треугольника – основания пирамиды.

 

Рисунок 117

 

Истинные величины ребер пирамиды найдены способом вращения. Вращение выполнялось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций П₁ и проходящей через вершину пирамиды – точку S.

Развертка поверхности прямого кругового конуса (рисунок 118) представляет собой сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а дуга - длине окружности основания конуса, и окружность, равную окружности основания конуса.

Рисунок 118

 

Для построения разверток поверхностей всех этих тел необходимо знать только истинные величины их ребер, высот, образующих и т.д.

Для построения развертки боковой поверхности наклонной призмы, можно применить один из способов:

1) способ треугольников;

2) способ построения нормального сечения;

3) способ раскатки.

Способ треугольников состоит в том, что каждая грань призмы диагональю разбивается на два треугольника. Определяются истинные величины всех сторон треугольников, которые последовательно в истинную величину вычерчиваются на свободном поле чертежа. На рисунке 119 этот способ применен для построения развертки боковой поверхности трехгранной наклонной призмы.

Рисунок 119

 

Грань АВВ^/А^/ диагональю АВ^/ разделена на два треугольника.

Для построения истинной величины треугольника АА^/В^/ надо определить истинную величину только одной его стороны - стороны АВ^/, так как в данном примере две другие стороны треугольника расположены относительно плоскостей проекций так, что одна из их проекций является истинной величиной: истинная величина стороны А^/В^/ - ее горизонтальная проекция А₁В₁, стороны АА^/ - фронтальная проекция А₂А₂^/.

Истинная величина стороны АВ^/ на рисунке 118 определена вращением ее вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций П₂ и проходящей через точку А. Затем к построенному в натуральную величину по трем сторонам треугольнику АА^/В^/ пристроен треугольник АВВ^/, истинные величины всех сторон которого уже известны. Далее следует диагональю разделить на два треугольника вторую грань призмы, определить истинные величины всех сторон этих треугольников и построить их в натуральную величину к первым двум, затем разделить на два треугольника следующую грань призмы и т. д.

На рисунке 120 развертка боковой поверхности трехгранной наклонной призмы построена способом нормального сечения. Последовательность построений следующая:

Рисунок 120

 

1) призма рассекается нормальной плоскостью (перпендикулярной к ее ребрам или граням). В приведенном примере нормальной плоскостью является фронтально проецирующая плоскость Р;

2) строятся проекции нормального сечения призмы плоскостью Р и определяется истинная величина его фигуры. Фронтальная проекция фигуры нормального сечения (1₂2₂3₂) совпадает со следом секущей плоскости, а горизонтальная проекция определяется по принадлежности точек ребрам призмы. Истинная величина фигуры сечения (1₀2₀3₀) построена способом совмещения – плоскость Р вращением вокруг ее горизонтального следа совмещена с плоскостью проекций П₁;

3) истинная величина фигуры нормального сечения (1₀2₀3₀) разворачивается в прямую линию (1-1) на свободном поле чертежа и от точек 1, 2, 3, 1 проводятся перпендикуляры к прямой 1-1;

4) на перпендикулярах по обе стороны от точек 1, 2, 3, 1 откладываются истинные величины соответствующих ребер призмы и полученные точки А, В, С, А и А^/, В^/, С^/, А^/ соединяются отрезками прямых. В рассматриваемом примере ребра призмы параллельны плоскости проекций П₂, а следовательно, истинными величинами их являются соответствующие фронтальные проекции.

Способ раскатки применяется тогда, когда ребра призмы параллельны одной из плоскостей проекций, например плоскости проекций П₂ (рисунок 121). При этих условиях каждую грань призмы последовательно поворачивают вокруг одного из ребер, как вокруг фронтали, до положения, параллельного плоскости проекций П₂; все грани призмы проецируются на плоскость проекций П₂ в натуральную величину. Построения выполняются так. Из фронтальных проекций точек А₂, В₂, С₂, А^/₂, В^/₂, С^/₂ проводятся перпендикуляры к ребрам призмы.

 

 

Рисунок 121

 

В данном примере раскатка боковой поверхности призмы начата с грани АВВ^/А^/. Чтобы повернуть ее вокруг ребра АА^/ до положения, параллельного плоскости проекций П₂, из точек А₂ и А₂^/ на перпендикулярах, выходящих из точек В₂ и В₂^/, сделаны засечки раствором циркуля, равным истинной величине стороны АВ (А^/В^/) основания призмы (истинной величиной стороны АВ основания призмы является ее горизонтальная проекция А₁В₁). Параллелограмм А₂В₀В₀^/ А₂^/ есть истинная величина грани АВВ^/А^/. Затем из точек В₀ и В₀^/ раствором циркуля, равным истинной величине стороны ВС (В^/С^/) основания призмы, сделаны засечки на перпендикулярах, выходящих из точек С₂ и С₂^/. Параллелограмм В₀С₀С₀^/В₀^/ - истинная величина грани ВВ^/С^/С призмы. Истинная величина грани СС^/А^/А построена аналогично. Фигура А₂В₀ С₀А₀А₀^/С₀^/В₀^/А₂^/ - развертка боковой поверхности призмы.

Во всех приведенных примерах ребра призмы занимали частные положения относительно плоскостей проекций – они были параллельны плоскости проекций П₂, а основания призмы – плоскости проекций П₁. Поэтому решение задач при построении развертки боковой поверхности призмы упрощалось. При построении разверток поверхностей призм, ребра которых занимают общие положения относительно плоскостей проекций, нужно, применив способ замены плоскостей проекций, преобразовать чертеж так чтобы ребра призмы заняли частные положения, а затем выполнить построения, аналогичные одному из описанных выше способов.

Чтобы построить развертку полной поверхности призмы, надо к построенной развертке боковой поверхности ее пристроить истинные величины оснований.