Взаимное пересечение поверхностей многогранников

 

Многогранные поверхности пересекаются друг с другом по замкнутым ломаным линиям. Звенья этих ломаных линий есть линии пересечения соответствующих граней многогранников, а точки излома – точки встречи ребер одного многогранника с гранями другого. Чтобы построить линии пересечения двух многогранных поверхностей, наиболее целесообразно найти точки встречи ребер одного многогранника с гранями второго и точки встречи ребер второго многогранника с гранями первого, т. е. задача сводится к определению точек пересечения прямой линии с плоскостью. Затем соединить их в определенной последовательности отрезками.

На рисунок 122 дано построение линии пересечения поверхностей пирамиды и прямой призмы. Основание призмы совпадает с плоскостью проекций П₁, а пирамида занимает общее положение.

Так как ребра призмы занимают горизонтально проецирующее положение, то горизонтальные проекции точек пересечения (1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁, 6_1, 7₁, 8₁) данных поверхностей определяются по принадлежности их ребрам призмы. Фронтальные проекции (7₂ и 8₂) точек пересечения поверхностей определяются по условию принадлежности их граням пирамиды (рисунок 98 и 99). Точки 7 и 8 – точки пересечения (точки входа и выхода) ребра DD^/ призмы с поверхностью пирамиды.

 

 

Рисунок 122 Рисунок 122а

 

Точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 расположены на ребрах пирамиды. Поэтому фронтальные проекции 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂, 6₂ определятся на фронтальных проекциях соответсвующих ребер пирамиды. Точки линии пересечения заданных поверхностей последовательно соединяются прямыми с учетом видимости и расположения на гранях.

В рассмотренном примере последовательность соединения точек излома линий пересечения поверхностей, а также видимость отдельных звеньев линий очевидна. Но так бывает не всегда, особенно если пересекаются поверхности, имеющие много граней. Следует помнить, что соединять отрезками прямых можно только те две точки, которые принадлежат одной и той же грани каждого из заданных многогранников. Видимыми же звеньями будут только те, которые одновременно принадлежат видимым граням как первого, так и второго многогранника. Видимость отдельных звеньев линий пересечения, определяется отдельно для фронтальной и горизонтальной проекции. Применять это правило удобно при помощи построения специальной сетки, представляющей собой условное наложение друг на друга схематических разверток боковых поверхностей пересекающихся многогранников (рисунок 122а). Горизонтальные линии сетки условно принимаются за ребра первого а вертикальные – за ребра второго многогранника и обозначаются соответствующими буквами. При этом первое ребро обоих рядов повторяется дважды – в начале и в конце ряда. Полоски между проведенными прямыми условно считают гранями соответствующих многогранников. Построенные на рисунке точки, принадлежащие линии пересечения, наносят на сетку так, чтобы они располагались на соответствующих условных изображениях ребер и граней многогранников. Соединяются точки, исходя из условия возможности соединения лишь тех точек, которые расположены на сторонах одной клетки сетки, не пересекая других линий.

Для определения видимости проекций отрезков линии пересечения сетку строят для каждой из плоскостей проекций, отмечая на соответствующих полосах сплошными и штриховыми линиями видимость граней обоих многогранников. При соединении точек на сетке, принадлежащих линии пересечения многогранников, проводятся сплошными линиями лишь точки, которые расположены в клетках, соответствующих видимым граням обоих многогранников. Для рассмотренного примера (рисунок 122а) построена сетка для плоскости П₂. Для горизонтальной плоскости П₁ сетка не построена, т.к. горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы. При этом условно приняты горизонтальные линии сетки за ребра пирамиды SA, SB, SC, а вертикальные линии сетки за ребра призмы FF^/, EE^/, DD^/.

На сетке отмечены видимые и невидимые грани на плоскости П₂. Соединены точки с учетом видимости на сетке граней. Далее переносится эта видимость на рисунок 122.

На рисунке 123 показано построение линии пересечения поверхностей наклонных призмы и пирамиды. Линия пересечения построена по точкам пересечения ребер каждого из геометрических тел с гранями второго геометрического тела. В результате пересечения многогранников получены две ломаные линии пересечения.

 

Рисунок 123