Линейчатые развертываемые поверхности

 

Цилиндрическая поверхность (рисунок 89) образована движением прямой образующей по кривой направляющей, оставаясь параллельной заданному направлению.

 

Рисунок 89 Рисунок 90

 

Если направляющая – ломаная линия, то поверхность будет гранной (частный случай такой поверхности будет призма) (рисунок 90).

Коническая поверхность (рисунок 91) образована перемещением прямой образующей по кривой направляющей, причем образующая в любом положении проходит через одну точку – вершину.

Рисунок 91 Рисунок 92

 

Поверхность с ребром возврата (рисунок 92) образуется перемещением прямой образующей таким образом, что образующая во всех положениях остается касательной к кривой направляющей. Эта кривая называется ребром возврата (Е-1-2-3-4-5-F).Такая поверхность является развертываемой, так как смежные прямолинейные образующие лежат в одной плоскости. Если принять за ребро возврата плоскую кривую линию, то поверхность превратится в плоскость.

Цилиндроид – поверхность, образованная перемещением прямой линии (образующей) по двум кривым (направляющим), не лежащим в одной плоскости (рисунки 93 и 94). Образующая, перемещаясь, остается параллельной плоскости параллелизма R. Взаимное расположение направляющих линий и плоскости параллелизма должно быть неизменным.

Рисунок 93 Рисунок 94

 

Любая плоскость, параллельная плоскости параллелизма, пересекает цилиндроид (рисунок 93) и коноид (рисунок 94) по прямой линии. Следовательно, чтобы построить образующую цилиндроида или коноида, необходимо провести плоскость, параллельную плоскости параллелизма, найти точки пересечения этой плоскости с направляющими линиями и полученные точки соединить. Полученная прямая и будет образующей цилиндроида или коноида.

Нелинейчатые поверхности

 

Нелинейчатые поверхности – поверхности, образованные в результате перемещения кривой линии (образующей) по другой кривой (направляющей) с определенной закономерностью или произвольно. Нелинейчатые поверхности являются неразвертываемыми. К ним относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, двуполостный гиперболоид, циклические поверхности и др.

 

Поверхности вращения

 

В результате перемещения какой – либо образующей (прямолинейной или криволинейной) вокруг неподвижной оси образуется поверхность вращения. Это линейчатые поверхности прямого кругового цилиндра и конуса (рисунки 89-91). Криволинейные поверхности вращения (поверхности общего вида) образуются вращением произвольной криволинейной образующей вокруг вертикальной оси.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность. Примерами таких поверхностей могут служить сфера, тор и др.

 

 

Рисунок 95

 

Плоскости, перпендикулярные к оси поверхности, пересекают поверхность по окружностям, которые называются параллелями. Параллель с наибольшим радиусом называют экватор, с наименьшим радиусом – горло. Секущие плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают эту поверхность вращения по линиям, которые называются меридианами (рисунок 95).

 

Рисунок 96

 

Сфера – поверхность, образованная вращением окружности вокруг своего диаметра (рисунок 96). На чертеже сфера изображается на всех плоскостях проекций окружностью одного и того же радиуса.

 

Тор - поверхность, которая образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей с ней в одной плоскости и пересекает, но не проходит через ее центр (рисунок 97). Если ось вращения не пересекает окружность, тор называется открытым или круговым (рисунок 97), а если пересекает – закрытым.

 

 

Рисунок 97

 

 

Точка на поверхности

 

Точка находится на поверхности, если она принадлежит какой – либо линии, расположенной на данной поверхности. На практике чаще всего приходится определять положение одной точки или их множества на поверхности конкретных геометрических тел.

Геометрические тела делятся на две группы. К первой группе относятся многогранники, ко второй поверхности вращения. На рисунке 98 дан чертеж призмы и фронтальная проекция точки Е (Е₂), лежащей на поверхности призмы. Требуется найти горизонтальную проекцию точки (Е₁), если она лежит на видимой грани призмы

На основании условия принадлежности точки поверхности, через точку Е в грани А₂А^/₂ В₂В^/₂ проходит прямая 1₂1^/₂ параллельная ребрам призмы. Горизонтальные проекции точек 1₁ и 1^/₁ определяются по принадлежности их отрезкам нижнего АВ и верхнего А^/ В^/ оснований призмы. Проекция точки Е₁ будет находиться на проекции прямой 1₁1^/₁.Так как грань АА^/В^/В на горизонтальной проекции видима, то и проекция Е₁ будет видима.

На рисунке 99 задана горизонтальная проекция точки М, лежащей на поверхности трехгранной пирамиды. Требуется определить ее фронтальную проекцию.

 

 

 

Рисунок 98 Рисунок 99

 

Как и в предыдущей задаче, с учетом видимости граней пирамиды и точки М, находим недостающую фронтальную проекцию точки М₂, используя, в качестве вспомогательной, прямую S₁, проведенную на грани АСS.

На рисунке 100 показаны точки А и В на поверхности конуса, а на рисунке 101 –точки А и В на поверхности сферы. Заданы фронтальная проекция А₂ и горизонтальная проекция В₁, принадлежащих поверхностям конуса и сферы. Требуется найти их недостающие проекции, при условии, что точка А находится на обращенной к наблюдателю поверхности сферы, точка В – на невидимой.

На рисунке 100 горизонтальная проекция точки А₁ определена введением образующей конуса через точку А, а горизонтальная проекция точки В с помощью параллели радиуса R2, полученной от рассечения конуса плоскостью Р (Р₂).

Рисунок 100 Рисунок 101

 

Так как сферическая поверхность образуется вращением окружности вокруг одного из ее диаметров, то любая ее точка при вращении описывает окружность соответствующего радиуса. Если плоскость этой окружности параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на нее без искажения. Через точку А на поверхности сферы нужно провести окружность радиуса R₁, которая проецируется на плоскости П₂ в виде прямой, а на плоскость П₁- в виде окружности. Горизонтальная проекция А₁ будет находиться на этой окружности.

Аналогично строится фронтальная проекция В₂, но с учетом невидимости, на окружности радиуса R₂ ближе к плоскости П₁ (дальше от наблюдателя).

Построения точек А и В на поверхности конуса понятно из рисунка 100.