Проекции точки на две и три плоскости проекций

Положение точки в пространстве определяется проекциями точки на двух и более плоскостях. На рисунке 20 изображена система из двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций – горизонтальной П₁ и вертикальной П₂. Линия пересечения плоскостей П₁ и П₂ называется осью проекций. Она разделяет каждую плоскость на полуплоскости.

 

 

Рисунок 20 Рисунок 21

 

Плоскости образуют четыре угла, их называют квадрантами или четвертями пространства. Каждая четверть имеет свой порядковый номер в соответствии с нумерацией, приведенной на рисунке 20. При переходе от пространственного изображения к чертежу, т.е. при совмещении горизонтальной плоскости с фронтальной, передняя пола плоскости П₁ будет перемещаться на 90 градусов вокруг оси Х вниз, а задняя – вверх.

На рисунке 21 показано построение проекций точки А, расположенной в I четверти. Из точки А проводятся проекционные лучи перпендикулярно плоскостям проекций П₁, П₂. При пересечении проекционного луча с плоскостью П₁ получаем горизонтальную проекцию точки А₁, а с плоскостью П₂- фронтальную проекцию точки А₂. Проекционные лучи АА₁ и АА₂ образуют плоскость перпендикулярную к плоскостям проекций и пересекающуюся с осью Х в точке А_х. Следовательно, проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной той же точке (А_х). Линии А₁А_х, и А₂А_х называются линиями связи.

На рисунке 22 введена третья плоскость - профильная П₃ , перпендикулярная П₁ и П₂. Плоскости проекций, взаимно пересекаясь, делят пространство на восемь частей, называемых октантами.

 

Рисунок 22 Рисунок 23

 

Положение точки в пространстве задается тремя координатами X,Y,Z, которые определяют расстояния от точки до плоскостей проекций:

Координата Х – до плоскости П₃; координата Y- до плоскости П₂; координата Z – до плоскости П₁ (рисунок 22). Каждая координата определяется не только величиной, но и направлением относительно начала координат (знаком). Чертеж точки показан на рисунке 23. Из рисунков 22 и 23 видно, что проекции точки А₁ и А₂ располагаются на линии связи перпендикулярной оси Х, а А₂ и А₃ на линии связи параллельной оси X.

Положение проекций точки определяется двумя координатами: горизонтальной проекции точки (А₁) координатами X и Y, фронтальной проекции точки (А₂)- координатами X и Z, профильной проекции точки (А₃) - координатами Y и Z.

 

 

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ

Прямая общего положения

 

Проекции прямой линии являются прямыми. Чтобы построить проекции прямой, необходимо построить проекции двух ее точек и одноименные проекции этих точек соединить прямыми линиями. Прямая линия в пространстве может располагаться произвольно относительно плоскостей проекций. Такая прямая линия называется прямой общего положения (рисунок 24).

 

Рисунок 24 Рисунок 25

 

Прямая общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. Угол наклона прямой к плоскости проекций измеряется углом между самой прямой и ее проекцией на эту плоскость. Обозначаются углы наклона к плоскостям проекций П₁, П₂, П₃ – соответственно a, b, g.

Длина отрезка проекции прямой общего положения всегда меньше самой прямой.

Для определения длины отрезка АВ (рисунок 25) через точку А проведен отрезок АС параллельно плоскости П₁, тогда [АС]=[А₁В₁].

[ВС]=[ВВ₁]-[В₁С]=[ВВ₁]-[АА₁]=[В₂В_х]-[АА₁]=[В₂В_х-А₂А_х].

Треугольник АВС - прямоугольный и его гипотенуза АВ является длиной отрезка АВ. Отсюда:

Длина отрезка прямой АВ равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого одним катетом является одна из проекций прямой (любая), а другим катетом – алгебраическая разность расстояний от концов другой проекции до разделяющей эти проекции оси.

На эпюре (рисунок 26) изображены проекции прямой АВ общего положения, показано нахождение длины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций П₁ и П₂ – угол a и угол b соответственно. Угол наклона прямой линии к плоскости проекций измеряется углом между самой прямой (натуральной величиной) и ее проекцией на эту плоскость.

Рисунок 26

 

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций относятся к прямым частного положения.

Прямые уровня

 

Прямые уровня – прямые параллельные одной из плоскостей проекций. Отрезки таких прямых, на плоскость проекций, которой они параллельны, проецируются без искажения – в натуральную величину.

Прямая, параллельная плоскости П₁ – горизонталь (рисунок 27). Фронтальная ее проекция параллельна оси Х. [А₁В₁]=[АВ] – длина отрезка. Углы наклона видны на чертежах.

 

Рисунок 27

 

Прямая, параллельная плоскости П₂ - фронталь (рисунок 28). Горизонтальная ее проекция параллельная оси Х.

[А ₂ В₂]=[АВ]- длина отрезка.

 

Рисунок 28

 

Прямая, параллельная плоскости П₃ – профильная прямая (рисунок 29).

Рисунок 29

 

Горизонтальная и фронтальная проекции перпендикулярны оси Х.

[А₃В₃]=[АВ].

Проецирующие прямые

Проецирующие прямые – прямые перпендикулярные одной из плоскостей проекций и проецируются на эту плоскость в виде точки, а на две другие – в натуральную величину.

Горизонтально проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная плоскости проекций П₁ (рисунок 30).

 

Рисунок 30 Рисунок 31

 

Фронтально проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная плоскости проекций П₂ (рисунок 31).

Профильно - проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П₃ (рисунок 32).

 

Рисунок 32

Как видно из чертежей (рисунки 27-32), если прямая занимает частное положение, то на чертеже видны длины отрезков и величины углов наклона ее к плоскостям проекций

Следы прямой

Следы прямой - это точки пересечения прямой с плоскостями проекций. Горизонтальный след прямой M=M₁ – точка пересечения прямой m с плоскостью проекций П₁. Фронтальный след прямой N=N₂ – точка пересечения прямой m с плоскостью проекций П₂. Профильный след прямой плоскостям проекций.

Р=Р₃ - точка пересечения прямой АВ с плоскостью проекций П₃.Чтобы построить горизонтальный след М прямой АВ (рисунки 33, 34) нужно продолжить фронтальную проекцию А₂В₂ до пересечения с осью Х и из точки М₂ (фронтальная проекция горизонтального следа) восстановить перпендикуляр к оси Х до пересечения с горизонтальной проекцией А₁В₁. Точка М₁ (горизонтальная проекция горизонтального следа) совпадает с самим следом М.

Рисунок 33 Рисунок 34

 

 

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ

Две прямые могут пересекаться между собой, могут быть параллельными и могут скрещиваться.

Пересекающиеся прямые – это прямые, которые имеют одну общую точку пересечения. Характерным признаком этих прямых на ортогональном чертеже является:

1) одноименные проекции прямых пересекаются;

2) точки пересечения одноименных проекций лежат на одном перпендикуляре к оси Х (рисунок 35).

Параллельные прямые – это прямые, у которых одноименные проекции параллельны между собой (рисунок 36).

Рисунок 35 Рисунок 36

 

Этого условия достаточно для прямых общего положения, но недостаточно для прямых частного положения. Чтобы определить взаимную параллельность прямых частного положения в пространстве, необходимо иметь их проекции на ту плоскость, которой они параллельны (рисунок 37).

 

 

Рисунок 37 Рисунок 38

 

На рисунке 37 видно, что прямые не параллельны друг другу, так как фронтальные их проекции не параллельны.

Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые лежат в двух разных плоскостях. Характерным признаком этих прямых является:

1) точки пересечения одноименных проекций прямых не расположены на одном перпендикуляре к оси проекции, так как это проекции двух точек, лежащих на разных прямых (рисунок 38);

2) одноименные проекции не параллельны между собой (рисунок 39). Одна пара одноименных проекций может быть взаимно параллельна.

Рисунок 39

Точки, у которых какие-либо одноименные проекции совпадают на эпюре, называются конкурирующими. Эти точки принадлежат одному проецирующему лучу. Например точки 1 и 2; 3 и 4 (рисунок 38). С помощью конкурирующих точек определяется видимость самих точек и прямых, на которых расположены эти точки. Они принадлежат разным прямым АВ и СD.

У точек 1 и 2 совпадают их фронтальные проекции, у точек 3 и 4 – горизонтальные. На фронтальной плоскости проекций точка 2 закрывает собой точку1, так как точка 2 удалена от плоскости П₂ дальше, чем точка 1. На горизонтальной плоскости проекций точка 4 закрывает собой точку 3, так как точка 4 удалена от плоскости П₁ дальше, чем точка 3.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОГО УГЛА