Подобие гидромеханических процессов

 

7.1 Моделирование, основные понятия

В области, которая может быть названа «моделированием» необходимо различать два совершенно разных вида моделирования;

-физическое моделирование, в случае которого воспроизводится изучаемое явление с сохранением его физических свойств (материальная модель);

-математическое моделирование, в случае которого исследования натурных состояний или процессов выполняется путем изучения явлений, имеющих иное физическое содержание, однако описываемое теми же математическими зависимостями (знаковые модели).

Наряду со сказанным в отношении видов моделирования следует различать еще две разные категории самих моделей:

1 категория - так называемые воображаемые (мысленные) модели, которые создаются человеком мысленно - в его воображении; например, модель идеальной жидкости. Такие модели являются неполными.

2 категория - материальные (вещественные) модели, представляющие собой воспроизведенные конструкции или процессы, имеющие место в действительности, с целью изучения процессов.

Для чего необходимо моделирование? Во многих случаях не удается описать то или иное явление, связанное с движением жидкости, системой уравнений с надлежащей точностью. Иногда затраты на изготовление натурного образца значительны и необходимо провести проверку.

Такая ситуация вынуждает инженера-исследователя прибегать к экспериментальному изучению явления с помощью его моделирования.

В результате исследований на моделях получают поправочные коэффициенты к теоретическим формулам или эмпирические формулы, отражающие зависимости между отдельными параметрами, которые характеризуют изучаемое явление.

Сочетание теоретических, экспериментальных данных и моделирования позволяют получать надежные и точные результаты.

Моделированием называется метод изучения существующего или создаваемого объекта, при котором вместо объекта (оригинала) изучается модель (другой объект), а результаты количественно распространяются на оригинал.

К моделированию предъявляются следующие основные требования:

-опыты на модели должны проводиться быстрее и быть более простыми, удобными, экономичными и безопасными, чем опыты на оригинале;

-должны быть известны однозначные правила - алгоритмы, по которым производится расчет параметров оригинала на основе испытания модели;

-структура, устройство и назначение модели должны соответствовать основным целям моделирования, т.к. ни одна модель принципиально не способна полностью отразить оригинал, и любое моделирование носит приближенный характер.

В основе моделирования лежат общие условия механического подобия.

Подобными называются такие объекты, у которых соответствующие параметры, определяющие состояние объектов в пространстве и времени, отличаются только масштабом физических величин.

Явления будут механически подобны в том случае, если в них одинаково отношение всех геометрических элементов - размеров, расстояний, перемещений, одинаково отношение плотностей, кинематических параметров и сил.

Для полного механического подобия явлений (потоков) необходимо их геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.

Два потока геометрически подобны, если между их соответствующими линейными размерами существует постоянное отношение

L_H/L_M = M_L

где: M_L - геометрический линейный масштаб модели, индекс «н» относится к натурному объекту, а индекс «м» - к модели.

Два потока кинематически подобны, если траектории, описываемые двумя сходственными частицами обоих потоков, геометрически подобны.

Для динамического подобия необходимо, чтобы все силы одинаковой природы, действующие на любую пару сходственных элементов, отличались друг от друга лишь постоянными масштабами.

Потоки, удовлетворяющие одновременно условиям геометрического, кинематического, динамического подобия, называются гидродинамически подобными потоками, а коэффициенты пропорциональности M_L,Mt, M_V,M_P и т.д. - масштабными множителями.

 

Теоремы подобия

Основу методики применения теории подобия для глубокого анализа процессов и получения экспериментально обоснованных расчетных формул составляют системы теорем подобия, которые позволяют получить ответы на важнейшие вопросы практики применения этой теории:

-какие величины необходимо измерять в эксперименте?

-как обрабатывать результаты эксперимента?

-какие явления подобны изучаемому или, другими словами, как построить модель, подобную изучаемому объекту?

На первый вопрос отвечает первая теорема подобия, сформулированная И.Ньютоном: подобные между собой явления имеют численно равные критерии подобия.

Безразмерные критерии подобия бывают двух видов: критерии-комплексы, состоящие из различных физических и геометрических величин, и критерии-симплексы, состоящие из одноименных величин.

Рассмотрим некоторые критерии подобия. Критерий Ньютона - основной критерий, определяющий полное динамическое подобие из условия (F = m×j)

.

Критерий Ньютона можно представить и в другом виде:

.

Используем критерий Ньютона для вывода критерия Рейнольдса. Допустим, что доминирующими являются силы вязкости.

F = или F = .

Подставим F в формулу критерия Ньютона и получим:

 

.

Обозначив dn/dU ≈ kL/V, a S×L = W, получим:

.

Т.к. k=const, то его можно опустить. В результате получим:

.

Критерий Рейнольдса является мерой отношения сил инерции к силам трения. Аналогично могут быть выведены и другие критерии (Фруда, Эйлера, Вебера и т.п.)

В общем случае течение жидкости может быть полностью описано некоторой замкнутой системой уравнений, краевыми и начальными условиями. Оно полностью определяется условиями (условиями однозначности), к которым относятся геометрия потока, основные физические характеристики жидкости, начальные условия, условия на границе потока.

Безразмерные критерии, состоящие из условий однозначности, называются определяющими критериями, остальные являются неопределяющими.

Вторая теорема подобия отвечает на вопрос о том каким образом следует обрабатывать результаты экспериментов, для того, чтобы они носили обобщенный характер и могли быть использованы для широкого круга явлений.

Она сформулирована Федерманом - Букингемом: любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между соответствующими критериями.

Это так называемый метод анализа размерностей, а теорема также носит название Пи-теоремы.

Предположим, что некоторая переменная величина A₁ зависит от А₂,А₃,……,A_n (независимых переменных), участвующих в физическом явлении и больше ни от каких других переменных не зависит.

А₁ = f(А_2, А₃,……,A_n)

или φ(π₁, π₂, π₃,……. π_n).

Пусть число основных размерных единиц, через которые могут быть выражены n переменных, равно m.

Тогда число критериев, необходимых для описания процесса в обобщенном виде, отвечающем π- теореме

π = n-m

В рассматриваемых в гидромеханике задачах, число таких переменных, входящих в π- члены, должно равняться 4. Три из них (определяющие) входят в каждый из π- членов и только одна (четвертая) заменяется другой при переходе от члена к члену.

π₁= A₁^X1×A₂^Yl×A₃^zl×A₄^-1,

π₂= A₁^X2×A₂^Y2×A₃^z2×A₅^-1,

π₃= A₁^X3×A₂^Y3×A₃^z3×A₆^-1,

………………………………

π_n-3= A₁^X(n-3)×A₂^Y(n-3)×A₃^z(n-3)×A_n^-1.

Пояснение: X1-это X₁, Х(n-З)- это Х_n-3 - т.е. с соответствующими индексами.

Если выразить входящие в π- члены переменные через основные независимые переменные, то поскольку они являются безразмерными, показатели степени каждой из основных размерностей должны быть обязательно равны нулю.

Поэтому для всех π- членов можно составить три уравнения, связывающие показатели степени входящих в них переменных. Определим отсюда X, Y, Z и конкретизируем π- члены.

Покажем применение π- теоремы на примере. Известно, что потери давления в трубопроводе и, следовательно, потери напора зависят от следующих факторов:

-геометрических характеристик трубопровода (диаметра d, длины L, шероховатости стенок Δ),

-физических свойств жидкости (плотности ρ, динамической вязкости η, начального напряжения сдвига τ₀),

-средней скорости течения V.

Общую функциональную зависимость, связывающую все эти величины, представим уравнением:

Δp =f(d, L, ρ, V, η, τ₀, Δ),

которое можно преобразовать к виду

φ(Δp/L, d, ρ, V, η, τ₀, Δ) = 0.

Следуя π- теореме получим уравнение, состоящее из (n-m) = 4 безразмерных членов (n=7 число переменных, m=3 число основных размерных единиц).

Как было указано выше, каждый π- член должен содержать четыре переменных величины. Принимая в качестве определяющих переменных диаметр трубопровода d, среднюю скорость течения жидкости V и ее плотность ρ и комбинируя поочередно с остальными переменными находим значение этих членов:

π₁= d^X1*V^Yl*ρ^zl*η^-1,

π₂= d^X2*V^Y2*ρ^z2* τ₀^-1,

π₃= d^X3*V^Y3*ρ^z3* Δ^-1,

π₄= d^X4*V^Y4*ρ^z4* (Δp/L)^-1.

Далее составим уравнения размерностей для каждого из этих π- членов, имея ввиду обязательное условие их размерной однородности. Например, для первого π- члена будем иметь:

π₁ = L^X1×(L/t)^Y1×(m/L³)^Zl×(m/Lt)^-1 = L^{X1+Y1-3(Z1)+1}×t^-Y1+1×m^Z1-1 = L⁰×t⁰×m⁰,

где: L - единица длины,

t - единица времени,

m - единица массы.

Составим соответствующие уравнения для размерности длины, времени, массы и, решив систему совместно, получим:

X₁+Y₁-3Z₁+l=0,

-Y₁+l=0,

Z₁-l=0,

откуда: X₁ = 1, Y₁= 1, Z₁ =1.

Подставив эти значения показателей степеней в выражение для первого π-члена найдем:

π₁ = d×V×ρ/η (первый член - аналог числа Рейнольдса Re).

Аналогично могут быть определены и остальные л-члены.

Теорема имеет широкое применение. Пользуясь Пи-теоремой, удается определить структуру формул, описывающих данное движение жидкости, правильно организовать экспериментальные работы и т.д.

Необходимость и достаточность условий подобия процессов формулируется третьей теоремой подобия (теорема Кирпичева-Гухмана): подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности.

Следовательно, физически подобны те явления, которые принадлежат к одному и тому же классу и входят в одну и ту же группу явлений, отличающихся только масштабом физических величин.

Условия однозначности включают следующие необходимые данные:

а) сведения о геометрических свойствах системы (конфигурация и размеры);

б) данные о физических свойствах (вязкость, плотность и т.п.);

в) граничные условия;

г) временные условия (в начале и конце процесса).