Елементи математичних знань в доісторичні часи

Поняття числа, яке видається нам простим і звичним, є абстрактним поняттям, що могло утворитися тільки в результаті тривалої розумової роботи.Першим кроком до виникнення рахунку стало встановлення «взаємооднозначної відповідності» між предметами, які підлягають обчисленню, й деякою іншою множиною. Усім було відомо, що на небі Місяць один, очей у людини — двоє, пальців на руці — п’ять. Тому цими словами позначали числа 1, 2, 5.

На наступному етапі розвитку рахунку з усього розмаїття сукупностей було обрано одну, найбільш придатну для рахунку. Очевидно, найзручніше було користуватися такою сукупністю, в яку входили більш-менш однорідні предмети, наприклад пальці рук.

У більшості сучасних мов назви числівників утворені за десятковою системою, тобто за поданням чисел у вигляді суми числа одиниць (до 10), числа десятків (до 100), числа сотень (до 1000) тощо. Безсумнівно, в основі цієї системи лежить рахунок на пальцях.

Арабські й перські підручники арифметики одноголосно приписують винахід дев’яти цифр індусам. Дійсно, якщо ми розглянемо форми цифр на малюнку (див. кольорову вкладку), то відразу побачимо, що наші цифри утворилися від західноарабських, а ті, у свою чергу, — від індійських. Індуси дійсно є винахідниками нашої позиційної системи.

Ознайомившись із грецькою астрономією, вони довідалися про шестидесяткову систему й нуль. Індуси поєднали цю позиційну систему зі своєю: до власних цифр брахмі 1–9 вони додали грецький нуль і прийняли греко-вавилонську послідовність розрядів.

Імовірно, так воно й було. Однак це не применшує заслуг індусів: саме вони вдосконалили ту систему, якою ми тепер користуємося. Всі основні арифметичні дії із цілими числами й дробами, у сучасному вигляді, зустрічаються в індійських підручниках арифметики. Разом із правилами дій вони дійшли до нас через арабів.Прийнята в цей час у культурному світі арабська, або індуська, система числення на Русі з’явилася тільки в ХVI або навіть ХVII ст.

 

Математика Стародавнього Єгипту

Про математичні знання Стародавнього Єгипту залишені письмові згадки у вигляді папірусів. Найбільш відомі з них - папірус Рінда та Московський папірус. Папірус Рінда складається з 2 частин(Нью-Йорк і Британський музей)-1800 рік до н.е. Він містить 84 задачі з повним описом розв’язків. Московський папірус -1600 р. до н.е. і містить 25 задач з повним описом розв’язків. В Єгипті використовується непозиційна система числення з використ знаків чисел, що позначає степінь 10.Число записується як сума відповідних знаків. Для єгиптян були відомі правила обчислення площ фігур та об’ємів окремих тіл. Правила обчислення площ трикутника і трапеції збереглися до сьогодні. Для круга, циліндра, конуса у формулах використ число Пі. Число Пі вважалося рівним 3.

Всі правила рахунку древніх єгиптян грунтувалися на вмінні складати і віднімати, подвоювати числа і доповнювати дробу до одиниці. Множення і ділення зводили до складання за допомогою особливої ​​операції - багаторазового подвоєння або роздвоєння чисел. Виглядали такі розрахунки досить громіздким. Для дробів були спеціальні позначення. Єгиптяни використовували дробу виду 1 / n, де n - натуральне число. Такі дробу називаються аліквот них.

Порівняно невеликий коло завдань у єгипетських папірусах зводиться до вирішення найпростіших рівнянь з одним невідомим. При вирішенні подібних завдань для невідомого використовували спеціальний ієрогліф зі значенням "купа". У задачах про "купу", розв'язуваних єдиним методом, можна угледіти зачатки алгебри як науки про рівняннях.
У єгипетських папірусах зустрічаються також завдання на арифметичну і геометричну прогресії.

 

Математика Дворіччя.

Вавилонське царство 19-16 століття до н.е.

Вавилоняни писали клинописними значками на глиняних табличках, які в чималій кількості дійшли до наших днів (більш 500000, з них близько 400 пов'язані з математикою). Вавилонські математичні тексти носять переважно навчальний характер. З них видно, що вавилонська розрахункова техніка була набагато досконалішою єгипетської, а коло вирішуваних завдань суттєво ширше. Вавилонянии використовували 60-річну позиційну систему числення. Писали вони зліва направо. Значків для цифр було всього два клин та крючок: одиниці і десятки; пізніше з'явився значок для нуля.

Основні досягнення: 1) додавання та віднімання виконували як в 10 системі числення,при множені використовувались спеціальні таблиці, ділення (a/b) вони звели до множення (a*1/b);

2) впереше вводиться поняття порожнього розряду;

3)записується дріб з комою;

4)використовується розклад чисел на прості множники, і виведено ряд правильних чисел які розклад на множники 2,3,5;

5)вперше в практиці викор. Закон теореми Піфагора.

Також вавилонці розв’язували лінійні та квадратні р-ня, знали формули арифметичної та геометричної прогресії, застосовували пропорції, відсотки, приблизно знаходили квадратні корені числа, зустрічаються також кубічні рівняння і системи лінійних рівнянь.

У геометрії розглядалися ті ж фігури, що і в Єгипті, плюс сегмент кола і усічений конус. У ранніх документах вважають π = 3; Пізніше зустрічається наближення 25 / 8 = 3,125. Також могли знаходити площу неправильних чотирикутників.

Т.ч. математика Вавилону досягла більшого розвитку чим в Єгипті, при цьому значно вплинула на подальший розвиток математики.

 

Індійська математика

Книга Шульба-сутри (доповнення до Вед) найстаріші редакції цих книг відносяться до VI століття до н. е.., містяться багаті математичні відомості:

-дії з дробами; витяг коренів;

-раціональні наближення для коренів;

-рішення невизначених рівнянь;

- підсумовування арифметичної та геометричної прогресій;

-теорема Піфагора;

-точні і наближені методи для знаходження площі трикутника, паралелограма і трапеції, обсягу циліндра,призми, усіченої призми.

Класична задача комбінаторики: "скільки є способів витягти m елементів з N можливих". Відкрили Біноміальні коефіцієнти та їх зв'язок з біном Ньютона ^[2]. У II столітті до н. е.. індійці знали, що сума всіх біноміальних коефіцієнтів ступеня n дорівнює 2 ⁿ.

Нумерація: Індійська нумерація спочатку була вишуканою. В санскриті були кошти для іменування чисел до 10 ⁵³. Для цифр спочатку використовувалася сиро-фінікійська система, а з VI століття до н. е.. - Написання "брахмі", з окремими знаками для цифр 1-9. Деяк видозмінившись, ці значки стали сучасними цифрами, які ми називаємо арабськими.

Близько 500 р. н. е. винайшли десяткову позиційну систему запису чисел.

Дуже скоро потрібно введення нового числа - нуля. Перший код нуля виявлений у запису від 876 р. н. е.., він має вигляд звичного нам кружечка.

Дроби записувалися вертикально, як робимо і ми, тільки замість риси дробу їх укладали в рамку. Дії з дробами нічим не відрізнялися від сучасних.

Використовували рахункові дошки, пристосовані до позиційної записи. Вони розробили повні алгоритми всіх арифметичних операцій, включаючи вилучення квадратних і кубічних коренів.

Аріабхата (V-VI ст.)праця "Аріабхата" -рішень обчислювальних задач.

Бхаскара (II-VIIIст.) трактат "Сіддханта-шіромані".

 

7. Математичні знання східних слов’ян (від І ст. до ІV ст. н.е.).

Про рівень математичних знань східних слов’ян у І – ІІ ст. н.е. свідчить грошовий обіг, який здійснювався з використанням римської срібної монети. Про рівень астрономічних знань (які в свою чергу обумовлюють математичні) свідчить давньослов’янський календар, знайдений на території с. Ромашки на Київщині. Походження знань в галузі геометрії носить практичний характер. В народному мистецтві простежуються два стилі: “звіриний” і “геометричний” – створення орнаментів з трикутників, ромбів, квадратів, кругів, паралельних і перпендикулярних ліній. Використовувались знаки-символи: хрести, ромби, квадрати, кола та інші фігури. Символами влади вождів вживали залізні тризубці. Будуючи житло східні слов’яни користувались властивістю діагоналей прямокутника, вироблялись різні способи вимірювання висоти предметів, відстані до них, наприклад, при побудові кам’яних фігур ідолів (богів) 2-3 м заввишки, князівські могили насипали іноді висотою до десятків метрів.

З розвитком сільськогосподарських робіт вдосконалюються засоби визначення площі прямокутника, трапеції, трикутників. Деякі джерела свідчать, що площа трапеції обчислювалась як добуток півсуми основ на меншу бічну сторону, площа трикутника – як половина добутку сторін, що містять найбільший кут. Поле довільної форми розбивали на частини, площу яких вміли визначати. В сільському господарстві і побуті були предмети різної форми: циліндричної, кубічної, прямокутного паралелепіпеда, конічна поверхня (курені). З часом вдосконалюються методи обчислення об’ємів таких тіл.

Слов'янські цифри - цифри, що застосовувалися древніми слов'янами для позначення чисел в алфавітній системі нумерації, що виникла в X ст. Вважають, що алфавітне позначення чисел було введено одним з укладачів слов'янського алфавіту - Кирилом (помер у 869 р.).

Система позначення чисел була побудована за типом іонійської, якою користувалися візантійці; числові значення отримали лише літери, що відповідали буквам грецького алфавіту. Ця слов'янська система іменувалася кирилицею.

У другому слов'янському способі позначення чисел - глаголиці - подібності з іонічної системою немає. Там числові значення букв строго відповідають їх алфавітним порядком. В обох системах для виділення в тексті чисел над кожною літерою або треба всім числом ставилося особливий знак (титло).

У слов'янській мові для найменування вищих десяткових розрядів вживалися назви «мале число», в якому назви не йшли далі 106, і «велике число», в яке входили числа до 1050. При цьому одні й ті ж назви позначали в обох системах різні числа. Так, тьма позначала 10 000 в малому числі і 1000000 у великому числі. Легіон позначав в малому числі 10 тьми, а в великом числі - тьму тьми і т. д. 1050 називали колодою.

Букви алфавіту, відповідні числам 1-9, обведені кружком, позначали тьму, обведені кружком з точок - легіон, а гуртком з променів - леодр (леодр - в малому числі дорівнював 10 легіонам, тобто 1 000, а в великом - 1024 = легіон легіонів). Леодр леодрів (1048) називався вороном.

 

8. Стародавня Греція. Вже у давньогрецькій міфології виразно видно прагнення дати всеосяжну картину світу, знайти пояснення всьому сущому. Саме в античній культурі наука вперше в історії людства виділяється у самостійну сферу. Є всі підстави вести мову не просто про накопичення наукових знань (що знаходилися, як правило, у руках жерців), а про розвиток професійної науки.

Нескороминуще значення має антична філософія. Одним з найважливіших досягнень давньогрецької філософії є розробка космологічних питань — про походження Всесвіту, про природу людини.

Історична наука Стародавньої Греції передусім асоціюється з іменем Геродота. Він багато подорожував: відвідав Малу Азію, Стародавній Єгипет, Фінікію, різні міста балканської Греції, узбережжя Чорного моря, де збирав, зокрема, відомості про скіфів. Головна праця Геродота — «Історія», яка присвячена найважливішій політичній події грецької історії — греко-персидським війнам. Важлива праця Геродота і для вивчення минулого народів, що жили на території сучасної України. Саме Геродот дає перший в антична античній літературі системний опис життя і побуту скіфів.

Досить рано стали узагальнюватися медичні знання. У Греції склалося декілька наукових медичних шкіл, найвідоміші — Кнідська і Косська. Представником останньої був Гіппократ, що жив у класичну епоху. Його міркування про причини хвороб, про чотири темпераменти, про роль прогнозу при лікуванні, про морально-етичні вимоги до лікаря здійснили великий вплив на подальший розвиток медицини. Клятва Гіппократа і сьогодні є моральним кодексом лікарів всього світу. Перший систематичний підручник з анатомії тварин склав Діокл. Значними медичними центрами були міста Великої Греції, найяскравішим представником якої був Філістіон.

Синтезом накопичених до того часу математичних знань можна вважати працю Евкліда, що жив в Александрії, «Елементи» (або «Початки»). Викладені в ньому постулати і аксіоми, дедуктивний метод доказів служили впродовж віків основою геометрії. З іменем Архімеда із Сіракуз на острові Сицилія пов'язане відкриття одного з основних законів гідростатики, початок числення нескінченно великих і малих величин, ряд важливих технічних винаходів. Пергам став центром вивчення грецької філології, тут Діонісій Фракійський створив першу граматику.Селевк Вавілонський намагався обґрунтувати положення, що Земля і планети обертаються навколо Сонця по кругових орбітах. Походи Александра Македонського значно розширили географічні уявлення. Дикеарх склав карту світу. Ератосфен з Кірени обчислив довжину екватора Землі, отримавши результат, близький до правильного. Помітно просунулося вивчення людини. Герофіл виявив нерви і встановив їх зв'язок із мозком, він же висловив припущення, що з мозком пов'язані розумові здібності людини. Найбільшим науковим центром елліністичного світу були Александрійський мусейон та бібліотека Александрії, що нараховувала більш ніж півмільйона книг. Сюди приїжджали працювати видатні вчені, поети, художники з усього Середземномор'я.

 

9. Грецькі наукові школи. Мілетська школа (іонійська школа натурфілософії) — (давньогрецька) філософська школа, заснована Фалесом у Мілеті, була спрямована проти ідеалістичної і метафізичної ідеології родової аристократії, в одному з міст Іонії, у першій половині VI ст. до н.е. Представлена Фалесом, Анаксимандром й Анаксименом.

Фалес прийняв за першооснову всього сущого воду. Намагаючись дати розумні, логічні пояснення явищ, Фалес почав підходити і до математичних положень із вимогою: не тільки висловити, але й довести їх. Йому приписують доказ наступних теорем:

1) про розподіл кола навпіл його діаметром;

2) про рівність кутів при підставі рівнобедреного трикутника;

3) про рівність вертикальних кутів;

4) про рівності трикутників по стороні і прилягаючої до неї кутам (так звана друга ознака рівності трикутників),

5) про те, що кут, описаний у півколо, - прямій.

Можливо, що Фалес «доводив» свої теореми про рівність напівкіл, кутів або інших трьох елементів трикутника шляхом накладення, здійснюваного в перших трьох теоремах простим перегинанням креслення, до чого в п'ятій теоремі додається ще поворот креслення навколо центра окружності на 180°.

Узагальнюючи знання єгиптян і вавилонян, мілетська школа прагнула знайти відповідь на питання про основу буття, і відповідно до зростання логічного елемента в суспільному мисленні шукала і обґрунтування окремих положень геометрії. І якщо єгипетська геометрія залишалася в основному геометрією площ, зберігаючи в цьому прямий зв'язок зі своїм походженням, тепер вона стала більше абстрактною. Ще в більшій мірі, чим у єгиптян, користувалися кресленням; прямі лінії розглядалися не тільки як границі земельних ділянок, на кресленні вивчалися властивості трикутників, кутів, кола, важливу роль стало грати поняття подоби.

Фалесу приписується перше застосування циркуля і кутоміра, вимір висоти піраміди по довжині її тіні і своєї власної, а також спосіб визначення відстані корабля від берега. Перша із цих завдань, очевидно, вирішувалася так: з вежі або зі скелі на березі найпростішим інструментом був обмірюваний кут між схилом і напрямком лучачи до корабля. Потім обстановка була відтворена на кресленні в зменшеному масштабі. Нарешті, обмірюване на кресленні відстань множилася на відповідний коефіцієнт. Рішення ґрунтувалося на понятті подоби трикутників, пропорційності сторін, що лежать проти рівних кутів.

Видним продовжувачем ідей Фалеса був його співвітчизник, родич і учень Анаксимандр (близько 610-543 р. до н.е.), автор твору «Про природу». Анаксимандр вважав основою всього існуючого «безмежне» - «апейрон». Уперше висловивши здогад про нескінченність вимірів у нескінченному всесвіті і про природне походження людини, він тим самим висував на перший план ідею об'єктивної закономірності, ідею, що дала значний стимул для розвитку науки про кількісні відносини і просторові форми дійсності.

Анаксимандру приписують:

· визначення екліптики;

· подання про Землю як про круговий циліндр, діаметр якого ставиться до висоти як 3:1;

· побудова перших географічних карт Греції і Землі в цілому, причому в них у перший раз була застосована прямокутна проекція;

· виготовлення сонячних годин і інших астрономічних приладів.