Арабська алгебра і розвиток поняття про число

Вивчення математики було дуже поширене у арабів. Особливо вони розвивали алгебру, і їм навіть приписується винахід цієї науки; проте її принципи були відомі задовго до арабів. Однак прогрес, який вони зробили даній науці, повністю її перетворив. І саме арабам ми зобов'язані першим застосуванням алгебри та геометрії.

Інтерес до алгебри був настільки розповсюджений, що за часів царювання Мамуна, на початку IX століття, цей монарх доручив одному з математиків свого двору, Мухаммаду Ібн Мусі аль-Хорезмі скласти трактат про народну алгебрі. Саме з перекладу цього трактату пізніше європейці змогли почерпнути перші поняття про цю науці.

Серед найважливіших праць можна назвати введення тангенсів в тригонометричні розрахунки, заміну хорд синусами, застосування алгебри в геометрії, рішення кубічних рівнянь, поглиблене вивчення конічних перерізів.

Вони повністю перетворили сферичну тригонометрію, зводячи рішення трикутників до кількох фундаментальних теорем, які досі ще служать основою для їх вирішення.

 

13. Арабська геометрія. Ознайомившись з грецькою геометрією через переклади грецьких математичних творів, араби швидко засвоїли грецькі досягнення і включились у власні дослідження, проявивши критичний підхід і оригінальність. Вони розробили методи обчислення площ і об’ємів за допомогою методу вичерпування, їх увагу привертає проблема п’ятого постулату, методи геометричних побудов, застосування геометричних методів до розв’язування арифметико-алгебраїчних задач тощо, тобто у багатьох напрямках вони удосконалили та розвинули геометрію.

Найбільших успіхів у математиці досяг согдієць Мухаммед ібн Муса аль-хорезмі (тобто, родом з Хорезма - з берегів Сирдар'ї). Він працював у першій половині IX століття і був улюбленцем найвченішого з халіфів - Маамуна (сина знаменитого Гаруна аррашида). Головна книга Хорезмі названа скромно: "Навчання про переноси і скорочення", тобто техніка рішення алгебраїчних рівнянь. По-арабськи це звучить "Ільм аль-джебр валь-мукабала"; звідси виникло наше слово "алгебра". Інше відоме слово – "алгоритм", тобто чітке правило рішення задач визначеного типу – виникло від прозвання "аль-хорезмі". Третій відомий термін, введений у математику знаменитим согдійцем – це "синус", хоча в цій справі не обійшлося без курйозу.

Арабські учені слідували шляхом Архімеда. Вони намагалися розібратися в новому світі кубічних рівнянь: класифікували їх, виділяючи ті, котрі розвязуються так само просто, як квадратні рівняння.

Найвищих успіхів у цій області досяг учений поет Омар Хайям з Нішапура (1048-1131). Вірші він писав персидською, наукові трактати – арабською, а в службових справах користався тюркською мовою. У 11 столітті тюрки-сельджуки захопили велику частину Ірану і візантійських володінь у Малій Азії. На цих землях нові народи освоювали і розвивали спадщину всіх попередників – від вавілонян до арабів.

Потерпівши невдачу в прямому пошуку коренів довільного кубічного рівняння, Омар Хайям відкрив кілька способів наближеного обчислення цих коренів. Це була блискуча ідея: добратися до невідомих чисел, використовуючи добре знайомі криві! Як тільки (у 17 столітті) Рене Декарт додав до неї другу ідею – описати будь-яку криву за допомогою чисел – народилася аналітична геометрія, у якій розвязування алгебраїчних рівнянь злито воєдино з теорією чисел і з наочною геометрією. Передчуваючи цей зв'язок, Омар Хайям поставив багато цікавих обчислювальних дослідів. Він знайшов наближені способи розподілу окружності на 7 чи 9 рівних частин; склав докладні таблиці синусів і з великою точністю обчислив p. Хайям здогадався, що це число ірраціональне, і навіть не квадратичне – але довести цю гіпотезу не зміг. Хайям замінив п’яту аксіому твердженням: «Дві збіжні прямі (тобто ті, які наближаються одна до одної) перетинаються і неможливо, щоб вони віддалилися одна від одної в тому напрямку, в якому вони наближаються». О.Хайям розглядає чотирикутник – пізніше його названо чотирикутником Саккері Джероламо (1667-1733) – утворений відрізком АВ, з кінців якого проведені рівні перпендикуляри АС і ВД, і відрізком СД. Хайям спочатку доводить рівність двох верхніх кутів С і Д чотирикутника АВСД, потім формулює три гіпотези: а) верхні кути С і Д гострі, б) кути С і Д тупі, с) кути С і Д прямі. Гіпотези а і б зумовлюють певну суперечливість. Отже, лишається гіпотеза с.

Брати Бану Муса (Хст.) у працях «Книга ви вимірювання плоских і кульових фігур» і «Книга трьох братів про геометрію» досліджували питання щодо площі круга, встановивши межі для p: 3 <p< 3 (як і в Архімеда). Для розв’язування задачі про трисекцію кута вони використовували циркуль і спеціальну лінійку, винайшли спеціальний інструмент для визначення середнього пропорційного між двома певними величинами.

 

14. Математичні знання Київської Русі. Головними джерелами, які дають уявлення про про рівень математичних знань у Київській Русі є писемні твори, що містять деякі математичні відомості, а також пам’ятки зодчества, ремесла і народна творчість. Найдавнішим пам’ятником математичних знань усієї епохи Київської Русі є математичний твір монаха Кирика Новгородського “Вчення бачити людині всіх років” (1134). Цей твір присвячено арифметико-хронологічним розрахункам. В ньому автор показує, як визначати кількість років, місяців, тижнів, днів і годин, що пройшли від створення світу; кількість високосних років; кількість в році звичайних і місячних місяців, тижнів, днів і годин; кількість годин в одному дні. Для визначення днів, на які припадають християнські свята, Кирик розглядає “вчення про індикту” (рахунок п’ятнадцятиріччями),“сонячний круг” (період у 28 років, після якого новий рік юліанського календаря припадає на той же день тижня), “місячний круг” (період у 19 років, після якого місячні фази припадають на ті ж числа місяця юліанського календаря), “великий круг” – період в 532 роки (532 = 1928).

Аналізі цього твору свідчить про те, що його автор володів чотирма діями арифметики, знав дії з дробовими числами, мав уявлення про геометричну прогресію.

В збірнику “Руської Правди” (перший збірник законів за часів Ярослава Мудрого) міститься 47 статей, з яких 36 містять відомості про грошову систему (1 гривня = 20 ногатам = 25 кунам = 50 резанам). В цьому та інших збірниках того часу містяться задачі про відсотки на позичені гроші, подаються сільськогосподарські розрахунки, розглядаються задачі, розв’язання яких зводиться до геометричної прогресії і чисел Фібоначчі.

Ймовірно саме такі математичні знання мали освічені люди в Київській Русі. (Порівняйте з розвитком математики в Стародавніх Єгипті, Вавилоні і Греції). Чи були в Київській Русі школи? Володимир Святославоич ще в 988 р. заснував школу “книжного учения”. А в 1060 р. Ярослав Мудрий “собра от старост и поповых детей 300 учити книгам”. Навіть окремі жінки були грамотні. Наприклад, дочка чернігівського князя Єфросиня “не в Афинеях учися, но афинейские премудрости изучи…философию же и историю и всю грамматикою, числа и кругов обхождение”. Ото ж були в Київській Русі і школи, було й ідивідуальне навчання. Але математики як окремого навчально предмета в них не вивчали. Окремих дітей і юнаків знайомили тільки з нумерацією та простішими арифметичними діями. Починаючи з 10 ст., числа на Русі позначали кириличними буквами-алфавітом, запровадженим Кирилом та Мефодієм. Ця нумерація схожа до іонійської. тільки букви мали інші форми.

Деякі відомості про рівень математичних знань в Київській Русі можна одержати, вивчаючи її архітектуру і ремесло, а також народне мистецтво. Зодчі Київської Русі знали арифметику і геометрію. Для створення архітектурної форми вони використовували геометричні побудови, найпростіші відношення: 1:2, 2:3, 3:4, 4:5, 5:6, а також золотий переріз. Геометричні знання передавалися здебільшого майстровими людьми. Добрі будівельники Київської Русі вміли провішувати прямі, будувати прямі кути, проводити кола, ділити їх на кілька рівних частин, проводити паралельні прямі і т. ін. Ці знання передавались від майстра до учня індивідуально, як секрети майстерності. Ніяких доведень теорем вони, звичайно, не розглядали.

Аль Хорезмі

Твір Аль Хорезмі про арифметику зіграв надзвичайно важливу роль в історії математики. І хоча його справжній арабський текст загублений, зміст відомий у латинському перекладі 12 ст., єдиний рукопис якого зберігається в Кембріджі. У цьому творі вперше даний систематичний виклад арифметики, заснованої на десятковій позиційній системі числення. Переклад починається словами «Dixit Algorizmi» (сказав Алгорізмі). У латинській транскрипції ім'я Аль-Хорезмі звучало як Algorizmi або Algorizmus, а оскільки твір про арифметику був дуже популярний в Європі, ім'я автора стало прозивним — середньовічні європейські математики так називали арифметику, засновану на десятковій позиційній системі числення. Пізніше так називали всяку систему обчислень за певним правилом, тепер термін «алгоритм» означає послідовність вказівок, що задає процес обчислень, що починається з довільних початкових даних і направлений на отримання результату, який повністю визначається цими початковими даними.

Книга алгебри Аль-Хорезмі (Китаб мухтасаб ал-джабр і ва-л-мукабала) складається з двох частин — теоретичної (теорія рішення лінійних і квадратних рівнянь, деякі питання геометрії) і практичної (застосування методів алгебри в рішенні господарський-побутових, торгових і юридичних завдань — ділення спадку, складання заповітів, розділ майна, різні операції, вимірювання земель, будівництво каналів). Слово ал-джабр (заповнення) означало перенесення негативного члена з однієї частини рівняння в іншу, і саме з цього терміну виникло сучасне слово «алгебра». Ал-мукабала (зіставлення) — скорочення рівних членів в обох частинах рівняння. Успадковане від східних математиків вчення про лінійні і квадратні рівняння стало основою розвитку алгебри в Європі.

Після введення натуральних чисел, аль-Хорезмі звертає основну увагу в першій частині книги на рішення рівнянь. Розглядаючи лінійні і квадрадні рівняння він використовує поняття числа, кореня x та квадрату x2. У нижченаведеному прикладі використовуються сучасні позначення, щоб допомогти читачу зрозуміти основні ідеї, слід зауважити, що у своїх роботах аль-Хорезмі не використовував жодних символів, лише слова.

Латинський переклад сторінки, яка починається зі слів Діксіт алгоритми

Спочатку потрібно звести рівняння до однієї з шести нормальних форм:

Квадрати рівні кореням (ax2 = bx).

Квадрати рівні числу (ax2 = c).

Корені дорівнюють числу (bx = c).

Квадрати і корені рівні числу (ax2 + bx = c)

Квадрати і числа, рівні кореню (ax2 + c = bx)

Корені і числа, рівні квадрату (bx + c = ax2)

Геометрична частина трактату присвячена, в основному, вимірюванню площ і об'ємів геометричних фігур (трикутник, квадрат, ромб, паралелограм, званий ромбоїдом, коло, сегмент кола, чотирикутник з різними сторонами і кутами, паралелепіпед, круговий циліндр, призма, конус).

Перші університети Європи

До ХІ ст. основна наукова спадщина знаходились в руках представників релігійних каст і освіту молодь отримувала в монастирських школах.

В західній Європі 1088 р. ств. перший університет- Болонський: об’єднує в собі основних представників просвітництва в Італії.

На поч. 13 ст. він нараховує біля 10 тис. студентів. Значна кількість лекцій були публічними і проводились на площах. Панувала демократія між студентами і викладачами. В університетах ств. організовані бібліотеки. Відкрилися: Паризький. Оксфордський, Кембрідзький в Італії Флоренції. Пізніше в східній Європі,Празі, Кракові,Відні,Женеві,Кельні.

На 1500р. у Європі нараховується біля 80 тис. університетів.

Після чіткого визначення класичні університети обов’язково в своєму складі повинні були містити такі факультети: богословський, філософський, гуманітарний, медичний.

Основним методом викладання є лекції та прилюдні диспоти та дискусії, які тривали до 20 год. Обовязковою умовою для проведення диспутів було наведення цитат та витягів з висловлень автора.

В кожному університеті повинен бути присутній підготовчий факультет, навчання на ньому 5-7р. За змістом та завданням його можна прирівняти до коледжу його наз. мистецький. Вивчали 7-8 наук або мистецтв. Далі вибирався напрямок з терміном навч. 5-6 р. і після закінчення можна було отримати ступінь магістра.

 

17. Математика європейського середньовіччя. леонардо фібоначчі та його книга про абак. Розвиток науки припинився. Потреба в математиці обмежується арифметикою і розрахунком календаря церковних свят, причому арифметика вивчається по древньому підручнику. Нікомаха Геразського в скороченому перекладі Боеція на латинський.

Серед небагатьох високоосвічених людей можна відзначити ірландця Біду Високоповажного (він займався календарем, пасхалії, хронології, теорією рахунку на пальцях) і ченця Герберта, з 999 року - римського папи під ім'ям Сильвестр II, покровителя наук, йому приписують авторство декількох праць з астрономії та математики. Стабілізація і відновлення європейської культури починаються з XI століття. Розширюється викладання математики: в традиційний квадривіум входили арифметика, геометрія, астрономія і музика. Перше знайомство європейських вчених з античними відкриттями відбувалося в Іспанії. У XII столітті там переводяться (з грецької й арабської на латинську) основні праці великих греків і їх ісламських учнів. З XIV століття головним місцем наукового обміну стає Візантія. Особливо охоче перекладалися й видавалися «Начала» Евкліда; поступово вони обростали коментарями місцевих геометрів.

В кінці XII століття на базі декількох монастирських шкіл був створений Паризький університет, де навчалися тисячі студентів з усіх кінців Європи; майже одночасно виникають Оксфорд і Кембридж у Великобританії. Інтерес до науки росте, і один із проявів цього - зміна числової сістемі.Довгій час в Європі застосовувалися римські цифри. У XII-XIII століттях публікуються перші в Європі викладу десяткової позиційної системи запису (спочатку переклади ал-Хорезмі, потім власне керівництво), і починається її застосування. З XIV століття індо-арабські цифри починають витісняти римські навіть на могильних плитах. Тільки в астрономії ще довго застосовувалася Шістдесяткова вавилонська арифметика.

Сторінка «Книги абака». Першим великим математиком середньовічної Європи став в XIII столітті Леонардо Пізанський, відомий під прізвиськом Фібоначчі. Основна його праця «Книга абака» (1202 рік, друге перероблене видання - 1228 рік). Абаком Леонардо називав арифметичні обчислення. Фібоначчі був добре знайомий (по арабських перекладах) з досягненнями древніх і систематизував значну їх частину в своїй кнізі.Його виклад по повноті і глибині відразу стало вище всіх античні та ісламські прототипи, і довгий час було неперевершеним. Ця книга справила величезний вплив на поширення математичних знань, популярність індійських цифр і десяткової системи в Європі.

Видний німецький математик і астроном XV століття Йоганн Мюллер став широко відомий під ім'ям Региомонтан - латинізоване назвою його рідного міста Кенігсберг [3]. Він надрукував першу в Європі праця, спеціально присвячену тригонометрії. У порівнянні з арабськими джерелами нового трохи, але треба особливо відзначити систематичність і повноту викладу.

Лука Пачолі, найбільший алгебріст XV століття, друг Леонардо да Вінчі, дав ясний (хоча не дуже зручний) нарис символіки алгебри.

18. Йордан Неморарій- Математик XIII століття. Трактат Йордану Неморарія "Про елементи арифметичного мистецтва". Чудовою особливістю цього твору є постійне вживання в ньому літер для позначення чисел. У трактаті "Пояснення алгоритму" розглядається рахунок в різних системах: словесне числення за десятковою системою з поділом чисел на пальцеві від 1 до 9 і на суглобові різних порядків (десятки, сотні, тисячі і т. д.); індійський письмовий рахунок; дії над цілими числами; дробу звичайні і шестидесятеричной і дії над ними; нарешті, дії з пропорціями.

Трактат "Про дані числах" містить 115 завдань. Зміст завдань I книги може бути представлено у формі пропозиції: якщо дані два квадратних рівняння з двома невідомими, то дані і самі невідомі. II книга присвячена певним завданням першого ступеня, що вирішуються або за допомогою пропорцій, або за правилом простого помилкового положення. III книга займається завданнями з багатьма невідомими, вирішити з допомогою пропорцій і добування квадратного кореня. У IV книзі розглядаються квадратні рівняння з одним та двома невідомими і найпростіше кубічне рівняння x ³ = a.

Йордану належить геометричний трактат "Про трикутниках" (De triangulis). I книга містить у собі різні пропозиції з трикутнику, а на початку деякі визначення. II книга займається завданнями розподілу відрізків прямої лінії і прямолінійних фігур. III книга розглядає коло, а VI книга - вписані і описані многокутники, серед завдань IV книги знаходяться також завдання квадратури кола і трисекции кута.

Томас Брадвардін - філософ і математик, старший представник групиoксфордскіх калькуляторів з Мертон-коледжу, членом якого він був з 1323. В 1349 був обраний архієпископом Кентерберійським і в цьому ж році помер від чуми. Помітний інтерес представляє трактат Брадвардіна "Про теоретичної геометрії" У першому відділі Брадвардін розглядає зірчасті багатокутники, одержувані з правильних опуклих багатокутників шляхом продовження їх сторін до перетину (починаючи з п'ятикутника). У другому відділі Брадвардін займається изопериметрическими властивостями багатокутників, кола і кулі, слідуючи анонімному арабському перекладу Зенодор. Третій відділ трактату присвячений вченню про пропорції. У четвертому відділі обговорюється теорема про існування тільки п'яти правильних багатогранників і розглядається питання про заповнення простору правильними тілами. У трактаті "Про пропорції швидкостей при русі" Брадвардін сформулював гіпотетичний закон, що зв'язує швидкість руху тіла, рушійну силу та опір середовища. Згідно з цим законом, ставлення рушійної сили до опору середовища пов'язане зі швидкістю тіла показовою залежністю."Трактат про континуумі"присвячений вченню про безперервне і дискретно, який лежить на кордоні між фізикою, математикою і філософією. Брадвардін дотримується поглядів Аристотеля на нескінченну подільність континууму і критикує атомістичну концепцію континууму, виводячи з неї різноманітні суперечливі слідства. Брадвардіну належать також трактати "Про теоретичної арифметики" "Про квадратуру кола, "Мистецтво пам'яті"

 

19.Епоха Відродження. Лука Пачолі і його твір “Сума знань з арифметики, геометрії, відношенням і пропорційності”

Лука Пачолі - італійський математик. Виклав правила арифметичних дій, розв'язання деяких алгебраїчних рівнянь та їх додатки до геометрії, теорію геометричних пропорцій.

Сучасний світ немислимий без бухгалтерії. А сучасна бухгалтерія немислима без принципу подвійного запису, який вперше був описаний італійцем Лукою Пачолі в кінці XV століття. Тоді ж з'явилося і саме слово «бухгалтер».

Невпинно працюючи, Пачолі в 1493 році завершує свою головну працю «Сума арифметики, геометрії. Вчення про пропорції і відносинах». 10 листопада 1494 за підтримки венеціанського претора Марко ді Сануто книга була видрукувана в друкарні і відразу ж принесла Пачолі популярність. Над книгою Лука Пачолі трудився тридцять років. У 1496 році його запрошують з лекціями в Мілан, в 1499 р. - до Болоньї, в найстаріший університет Європи. Тут Пачолі познайомився з Леонардо да Вінчі, який, прочитавши «Сума арифметики, геометрії. Вчення про пропорції і відносинах», закинув роботу над власною книгою по геометрії і почав готувати ілюстрації до нового фундаментальної праці Пачолі. Ця робота, опублікована в 1508 році, називалася «Божественна пропорція» і включала в себе бесіди автора з Леонардо да Вінчі. Для всього світу особливо важливо в трактаті XI з роботи «Сума арифметики, геометрії. Вчення про пропорції і відносинах»«Про рахунки і записи», так як це був перший опис подвійної бухгалтерії - основи економічної діяльності сучасного підприємства. Вихід книги помножив славу Луки Пачолі як першого математика епохи. Текст «Суми...» ділиться на відділи, відділи - на трактати, трактати - на розділи. Перша частина; складається з дев'яти відділів, вісім з яких присвячені питанням арифметики і алгебри, а дев'ятий відділ - питань застосування математики в комерційній справі.

Написана Л. Пачолі Summa являє собою енциклопедичний варіант abaci. За своїм обсягом та охопленням тим вона набагато перевершує всі попередні їй твори. Л. Пачолі був умілим компілятором і чудово викладав засвоєні ним знання, при тому, що сам він у розвиток математики не вніс нічого нового. Він писав на італійському, а не на латині, щоб його книги були доступні більш широкої аудиторії (всі дійшли до нас abaci також написані по-італійськи), і його виклад багатьох питань було надзвичайно докладним.