Г.Крамер та його метод розвязування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

«Вступ до аналізу алгебраїчних кривих» — найвідоміша з робіт Крамера. У ньому вперше доводиться, що алгебраїчна крива n-го порядку в загальному випадку цілком визначена, якщо задані її n (n + 3) / 2 точок. Для доказу Крамер будує систему лінійних рівнянь і вирішує її за допомогою алгоритму, названого пізніше його ім'ям: метод Крамера.

Крамер розглянув систему довільної кількості лінійних рівнянь з квадратною матрицею. Рішення системи він представив у вигляді стовпця дробів із спільним знаменником — визначником матриці. Крамер дав точний алгоритм його обчислення: алгебраїчна сума всіляких творів елементів матриці, по одному з кожного рядка і кожного стовпця.

Крамер провів класифікацію алгебраїчних кривих до п'ятого порядку включно.

Правило Крамера якщо основний визначник неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами (1) де – допоміжний визначник, який одержується з основного визначника – шляхом заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи. Отже: Якщо , то система матиме єдиний розв’язок (1). Якщо , то система або невизначена, або несумісна(система буде несумісною – не матиме жодного розв’язку, якщо хоча б один з ). Якщо ж і , то система матиме безліч розв’язків. Перед розв’язком даних систем лінійних рівнянь потрібно перевірити необхідні умови застосування методу Крамера: 1. Кількість рівнянь системи дорівнює кількості невідомих. 2. Визначних основної матриці системи не дорівнює нулю

36. Джордж Буль (2 ноября 1815— 8 декабря 1864) — английский математик і логік. Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк) с 1849. Один из предтеч математической логики.

Наукова діяльність

Публіці Буль був відомий в основному як автор ряду важких для розуміння статей на математичні теми і трьох або чотирьох монографій, які стали класичними.

Публікація першої статті («Теорія математичних перетворень», 1839) привела до дружби між Булем і Д. Ф. Грегорі (редактором «Кембриджського математичного журналу», де стаття була опублікована), що тривала до самої смерті останнього. У цей журнал і наследовавший йому «Кембриджський і дублінський математичний журнал» Буль представив двадцять дві статті.

Шістнадцять його статей були опубліковані в «Філософському журналі», шість мемуарів - в «Філософські праці, ряд інших - у «Працях Королівського товариства Единбурга і Королівської Ірландської академії», у «Віснику С.-Петербурзької академії» та в журналі Крелля. Цей список доповнює публікація 1848 року в «Журналі механіка» (Mechanic's Magazine) про математичні засади логіки.Всього Булем було опубліковано близько п'ятдесяти статей в різних виданнях і кілька монографій.

Незабаром після того як Буль переконався, що його алгебра цілком застосовна до логіки, в 1847 році він опублікував памфлет «Математичний аналіз логіки», в якому висловив ідею, що логіка більш близька до математики, ніж до філософії. Ця робота була надзвичайно високо оцінена англійським математиком Огастес (Августустом) Де Морганом. Завдяки цій роботі Буль в 1849 році отримав посаду професора математики Куїнз-коледжу в графстві Корк, незважаючи на те, що він навіть не мав університетської освіти.

У 1854 році опублікував роботу «Дослідження законів мислення, що базуються на математичній логіці і теорії ймовірностей». Роботи 1847 і 1854 років поклали початок алгебрі логіки, або булевої алгебри. Буль першим показав, що існує аналогія між алгебраїчними і логічними діями, так як і ті, й інші припускають лише два варіанти відповідей - істина чи брехня, нуль або одиниця. Він придумав систему позначень і правил, користуючись якими можна було закодувати будь-які висловлювання, а потім маніпулювати ними як звичайними числами. Булева алгебра мала у своєму розпорядженні трьома основними операціями - І, АБО, НЕ, які дозволяли виробляти додавання, віднімання, множення, ділення і порівняння символів і чисел. Таким чином, Булю вдалося детально описати двійкову систему числення. У своїй роботі «Закони мислення» (1854 р.) Буль остаточно сформулював основи математичної логіки. Він також спробував сформулювати загальний метод ймовірностей, за допомогою якого із заданої системи ймовірних подій можна було б визначити вірогідність подальшого події, логічно пов'язаного з ними.

У 1857 році Буль був обраний членом Лондонського Королівського товариства. Його роботи «Трактат про диференціальних рівняннях» (1859 р.) і «Трактат про обчислення граничних різниць» (1860 р.) зробили колосальний вплив на розвиток математики. У них знайшли своє відображення найбільш важливі відкриття Буля.

Геометрія Лобачевського.

Микола Іванович Лобачевський народився 20 листопада (1 грудня) 1792 року в Макаріївському повіті Нижегородської губернії. Батько його займав місце повітового архітектора і належав до числа дрібних чиновників, які отримували убогу зарплату. Бідність, що оточувала його в перші дні життя, перейшла в убогість, коли в 1797 році помер батько і мати, у віці двадцяти п'яти років, залишилася одна з дітьми без будь-яких коштів. У 1802 році вона привезла трьох синів до Казані і віддала їх у Казанську гімназію, де дуже швидко помітили здібності її середнього сина.
Коли в 1804 році старший клас Казанської гімназії був перетворений в університет, Лоба-чевського включили до числа студентів природничо-наукового відділення. Навчався юнак блискуче. Проте поведінка його відзначалася як незадовільна: викладачам не подобалося «мрійливу про себе зарозумілість, зайву завзятість, вільнодумство».
Юнак отримав чудову освіту. Вже в 1811 році Лобачевський отримав ступінь магістра, і його залишили в університеті для підготовки до професорського звання. У 1814 році Лобачевський отримав звання ад'юнкта чистої математики, а в 1816 році був удостоєний професорського звання.

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за виключенням аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Евклідова аксіома про паралельні твердить:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.

В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.

 

Пфейффер

Г.В. Пфейффер - один з перших дійсних членів АН України (з 1920 р.) та професорів Київського державного університета ім. Т.Г.Шевченка, засновник кафедри диференціальних рівнянь.

Георгій Васильович (Георг Фердинанд Августович-Вильгельмович) Пфейффер народився 11 (23 жовтня) 1872 р. в с. Сокиренці Прилуцького повіту Полтавської губернії (Чернігівська обл.). В сім'ї фахівця - садівника. Середню освіту отримав в Прилуцькій гімназії, вищу – в Київському університеті св. Володимира. Закінчив фізико-математичний факультет Київського універсйтету у 1896 році.

Педагогічну діяльність розпочав спочатку у київських гімназіях. Читав лекції також в Київському політехнічному інституті (1899 - 1909 рр.), на Вищих жіночих курсах (з 1909 р. до їх закриття)., а в 1900 році обійняв посаду приват-доцента Київськогоуніверситету.

Докторську Дисертацію, присвячену проблемам теорії алгебричних поверхонь, захистив у 1911 році. З 1914 року основним об'єктом його наукового пошуку стають диференціальні рівняння. В Київському університеті був головою Вченої ради математичного факультету, завідуючим кафедри аналіза. З 1920 р. займав також ряд керівних посад в Академії наук України

1920 - 1946 рр. – завідувач відділом інституту математики, а в 1941 — 1944 рр. — директор об'єднаного інституту математики і фізики АН України. Член Київського, Московського, Французького, Берлінського математичнихтовариств.

Г.В. Пфейффером було з'ясовано умови повноти інтегралів Лі для систем диференціальних рівнянь з частинними похідними, узагальнено методи Якобі та Якобі - Майєра. Ці узагальнення увійшли в учбову літературу з інтегрування таких систем. У 1937 році Г.В. Пфейффер видав власний підручник з диференціальних рівнянь, матеріал до якого він ретельно відбирав протягом багатьох років. Значний науковий і практичний інтерес становлять написані ним у 1940 році доповнення до перекладеної українською мовою книги Е. Гурса "Інтегрування диференціальних рівнянь в частинних похідних першого порядку". В цих доповненнях Г.В. Пфейффер виклав низку власних способів інтегрування повних систем лінійних та нелінійних систем з однією функцією. Творчий доробок тільки з фундаментальних наукових праць складає понад 300 робіт, велика кількість з яких надрукована в наукових виданнях Французької, Німецької, Швейцарської Академій та Звітах міжнародних конгресів. Помер 10.10.1946 р. в м. Києві. Був похований на Лук’янівському кладовищі.