Усовершенствованный метод Эйлера.

Существуют различные модификации метода Эйлера, повышающие его точность. Они обычно направлены на то, чтобы более точно определить переход от точки в точку .Усовершенствованным методом Эйлера называется метод, который использует формулу следующего вида

(1)

При использовании этого метода сначала по формуле Эйлера найдем приближенное решение в середине интервала, т.е.

(2)

Затем в середине отрезка, т.е. точке (, ) вычисляем значение функции , т.е. определяем в этой точке наклон интегральной кривой . Используя эти найденные промежуточные значения вычисляем значение сеточной функции по формуле (1).

Следовательно, формулу (1) можно записать следующим образом

С помощью метода Эйлера-Коши можно проводить контроль точности решения путем сравнения промежуточного значения функции в i+1 узле с ее окончательным значением в этом узле, т.е. значений и . На основании этого сравнения выбирается величина шага h в каждом узле. Если модуль разности этих значений сравним с погрешностью вычислений, т.е. выполняется неравенство , то шаг можно увеличить.

Метод Рунге-Кутта.

Широкая категория методов, наиболее часто применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, известна под общим названием: методы Рунге - Кутта. Различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и, соответственно, обеспечивают большую или меньшую точность.

Методы Рунге - Кутта обладают следующими отличительными свойствами:

эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение функции в точке y_{i +1} нужна информация только о предыдущей точке (y_i, x_i);

они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h^k, где степень k определяет порядок метода;

эти методы не требуют вычисления производных от f (x, y), а требуют вычисления самой функции.

Именно благодаря последнему свойству методы Рунге - Кутта более удобны для практических вычислений.

32. Решение транспортной задачи методом потенциалов.
1) построение первого опорного плана
2) проверка плана на не вырожденность (m+n-1)
3) проверка плана на оптимальность
a) Опред. потенциалы Xi и Bj
Xi-потенциалы поставщиков
Bj-потенциалы потребителей
Для каждой занятой клетки записыв. уравн.
Xi+Bj=Cij, получает сист. n+m-1 уравн. с m+n
перемен., т.к. число переменных > чем число
уравн., то одну из переменных можно выбрать
произвольно Xi=0.
b) Опред. оценки свободных клеток.
∆ij = Ai+Bj-Cij
Если все оценки отрицательны, либо = 0, то план
оптимальный. Если хотя бы одна оценка
свободной клетки положительная, то план
неоптимальный, его нужно улучшать, т.е.
перераспределять груз.
4) построение нового опорного плана

30. Транспортная задача.
1) Математическая модель тр. задачи.
Постановка тр. зад. состоит в отделении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из «m» отправ. A1,A2…An, в «n» пункты назначения B1,B2…Bn. При этом в качестве критерия оптимальности берется либо «t» мин. стоимость перевозок либо мин. время доставки.
2) Определение опорного плана тр. задачи.
Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений опред. матрицей X=(Xij) назыв. допустимым планом транспортных задач.
1) Допустимый план транспортной задачи имеющ. не более (m+n-1) переменных Xij назыв. опорным.
2) Если в опорном плане число отличных от 0 компонент Xij=m+n=1 то план яв. Не вырожденным, если меньше то план вырожденный.
3) План при котором целевая ф. принимает свое мин. знач. назыв. оптимальн. планом.
4) Для решения трансп. Задачи необходимо и достаточно, чтобы суммарный запас груза в пунктах отправлениях были равны сумме заявок в пунктах назначения.