Значащие цифры в записи приближенного числа.

Значащими цифрами, приближенного числа, называются все его верные цифры кроме отличной от нуля (с лево на право). При округлении числа до m значащих цифрах отбрасывают все цифры или для сохранения разряда заменяемым нулем.

При применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда определяемого последней оставленной значащей цифры.

5. Округление числа, погрешность округления. Округление методом отбрасывания.

Операция округления десятичной дроби состоит в отбрасывании единиц младших разрядов начиная с некоторых. Абсолютная погрешность, допускаемая при округлении называется - ошибкой округления.

1 способ. Округление с недостатком. Состоит в отбрасывании единиц всех младших разрядов и при этом все цифры десятичной дроби до данного разряда включительно не меняются. А цифры младших разрядов заменяются нулями. Пример: х= 23,467 Округление с недостатком: 23,460; 23,400; 23,00; 20,00.

2 способ. Округление с избытком. Число единиц данного разряда увеличивают на единицу. Пример: х= 23,467 Округление с избытком: 23,47; 23,5; 24,30

3 способ. Округление с наименьшей погрешностью. 1. Единицы младшего разряда отбрасываются. 2. Число единиц данного разряда не меняется, если следующая цифра дроби <5 и увеличивается на единицу, если следующая цифра ≥5.

Из правила округления следует, что ошибка округления с наименьшей погрешностью не порывает половины единицы последнего сохраненного разряда.

Пример: x= 23.467; х= 23.47; 23.5; 23; 20. ошибки округления: 0,003; 0,033; 0,467; 3,467

Из правил округления следует что ошибка округления с наименьшей погрешностью не прерывает половины единицы последнего сохраняемого разряда.

Погрешность произведения. x»a с точностью δ₁; y»b с точностью δ₂; δ= δ₁+δ₂ .Граница относительной погрешности произведение = сумме границ относительно погрешностей сомножителей (x*y» a*b; с точностью δ). Пр: (x*y» a*b; δ= δ₁+δ₂) х» 4 у» 5,4 с точностью до 1% найти х и у.

x*y» 4*5,4»21,6; δ = 2% = 0,02;;h= 21,6 *0,02 = 0,432; x*y=21.6 +- 0.43

Погрешность частного. x»a с точностью δ₁; y»b с точностью δ₂. Граница относительной погрешности частного = сумме относительных погрешностей делимого и делителя. x/y» a/b с точностью δ= δ₁+δ₂

Погрешность степени и корня. x»a с точностью δ, n принадлежит N – степень

xⁿ»aⁿ с точностью до nδ. Граница относительной погрешности степени = произведению границы относительной погрешности основания на показатель степени.

xⁿ»aⁿ δ= nδ; √x» √a Граница относительной погрешности корня n степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкорневого числа.

 

 

6. Математические модели, основные принципы построения моделей.
Математ. Мод. – это сист. матем. соотношений которые в абстрактной форме приближенно описывает изучаемый процесс или систему.
Этапы построения мат. модели:
1) определение цели
2) опред. параметров модели
3) формирование упр. Переменных
4) опред. обл. допустимых изменений
5) знач. упр. переменных
6) опред. обл. значений решения
7) выявление неизв. факторов
8) выражение цели через упр. перемен. параметры и неизв. Факторы

Метод Хорд.

F(x)=0, f(x) – непрерывная функция имеющая на интервале a,b производные первого и второго порядка. Идея метода состоит в том что на достаточно малом отрезке a,b дуга кривой y=f(x) заменяется касательной к этой кривой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ox. 1случай: 1ая и 2ая производные функции f(x) имеют одинаковые знаки: f‘(x)*f’’(x)>0. записываем ура-е хорды как уравнение прямой через 2 точки: x-x1 / x2 –x1 = y-y1 / y2-y1. Формула: xn+1 = xn – f(xn) / f’(xn), х1=б-ф(б)/ф'(б). Получаем последовательность приближенных значений, в которой каждый последующий член ближе к приближенному значению корня и при этом получается приближенное значение с избытком. 2 случай: разные знаки формула такая же но с (а). Получаем последовательность приближенных значений с недостатком. При выборе начального приближения необходимо следовать правилу: За исходную точку следует выбрать тот конец отрезка (а,б), в котором знак функции совпадает со знаком 2ой производной. Если производная функция на отрезке (а,б) мало изменяется, то можно пользоваться формулой: xn+1 = xn – f(xn) / f’(x0). В вычислениях по этой формуле производная считается один раз.

10. Метод касательных.
F(x)=0, f(x) – непрерывная функция имеющая на интервале a,b производные первого и второго порядка. Корень отделен любым способом и находится на отрезке (а,б).
Идея метода состоит в том что на достаточно малом отрезке a,b дуга кривой y=f(x) заменяется касательной к этой кривой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ox. 1случай: 1ая и 2ая производные функции f(x) имеют одинаковые знаки: f‘(x)*f’’(x)>0. Запишем уравнение хорды как уравнение прямой через две точки: x-x1 / x2 –x1 = y-y1 / y2-y1. х1=а-ф(а)(б-а)/ф(б)-ф(а); хн+1=хн-ф(хн)(б-хн)/(ф(б)-ф(хн)
2случай: 1ая и 2ая производные функции f(x) имеют разные знаки f’(x)*f’’(x)<0. при выборе начального приближения корня, руководствуются правилом: за исходную следует выбрать тот конец отрезка a в который знак функции совпадает со знаком 2ой производной. Формула: xn+1 = xn- f(xn)(xn-a) / f(xn)-f(a). Неподвижным концом отрезка считается тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.