Теоретичні відомості до контрольної роботи №3

 

Алгебраїчна крива - це множина точок { x,y }, що задовольняє рівняння кривої F(x,y) = 0, де F(x,y) - функція від двох змінних x,y, яка є скінченною сумою виразів виду axⁿy^m. Степінь одночлена - це сума степенів змінних. Степінь кривої - це максимальна з степенів її одночленів. Нехай на площині зафіксована нормальна система координат. Крива на площині може мати

1) Неявне визначення: ;

2) Явне визначення: або ;

3) Параметричне визначення: .

4) Векторне визначення

Інтерполяція поліномами Лагранжа на площині

Задані (n+1) різні точки P_k =P_k (x_k,y_k) і значення параметра t (t₀<t₁<…<t_n), які відповідають цим точкам. Знайти поліномну вектор-функцію ), де - поліноми n -го степеня, яка проходить через ці точки, тобто r(t_k)=P_k.

Розв’язок цієї задачі можна шукати по кожній координаті окремо, як розв'язок відповідної інтерполяційної задачі: знаходження , для якого , і знаходження , для якого .

 

Скористаємось векторним записом розв’язку з використанням поліномів Лагранжа ,

 

де - елементарні поліноми Лагранжа - визначено за формулами

 

При цьому L_k(t) = 1 на k -тому вузлі, на інших вузлах L_k(t) = 0.

 

Зауваження 6. Параметр можна інтерпретувати як деяку міру довжини переміщення уздовж кривої. Але ототожнювати його з відстанню уздовж кривої не можна. У більшості випадків цей параметр інтерпретують як час переміщення уздовж кривої, але це переміщення не є рівномірним.

 

Криві Без’є

На початку розвитку комп’ютерної графіки дуже гострою була задача представлення кривих у памяті ЕОМ. У 1970 році П'єр Без’є запропонував метод зображення кривої, який достатно зручний як з точки зору машинного представлення, так і для використання художниками та дизайнерами як робочий інструмент.

 

Функція f(n), n=0,1,2,…, яка задовольняє рекурентному співвідношенню , , має назву факторіала числа і позначається

Для будь-якого n ≥0 маємо .

Для будь-яких невід’ємних і функція

має назву біноміального коефіцієнту(числа сполук з по ).

Наведемо деякі властивості сполук:

1) , 2) , 3) , 4)

 

Визначимо базові поліноми Бернштейна

.

Крива Без’є визначається вершинами P_k (k = 0,1,…, n) базового багатокутника, який однозначно визначає положення кривої на площині або у просторі. Для побудови кривої Без’є використовуємо поліноми Бернштейна і вершини P_k(x_k,y_k), k = 0,1,…, n, тобто крива Без’є має вигляд:

(2)

де р_n,k(t) - к -та функція базису Бернштейна порядку n, її максимумдосягається при t=k/n.

 

Або через компоненти

. (3)

 

Легко побачити, що кожну з цих компонент можна підраховувати окремо, як поліном Бернштейна для відповідної координатної функції від параметра t.

 

Якщо треба додержуватись неперервності кривизни і нахилу у точках з’єднання кривих, то треба знайти і першу, і другу похідні кривої Без’є.

Теорема. Для кривої Без’є (2) маємо наступні співвідношення

1) (Точка є початковою точкою кривої Без’є).

2) ( Точка є кінцевою точкою кривої Без’є ).

3) , (Вектор визначає напрямок дотичноговектора до кривої Без’є у початковій точці, а вектор - у кінцевій).

4) , - другі похідні визначаються двома суміжними граничними сегментами базового багатокутника (три найближчі вершини).

Розглянемо умови неперервності сусідніх кривих Без’є. Нехай маємо дві криві Без’є з базовими багатокутниками відповідно P₀,P₁,…,P_n і Q₀,Q₁,…,Q_m. Умова співпадання кінцевої точки першої кривої Без’є з початковою точкою наступної кривої

(4)

Для співпадання напрямків дотичних у точці переходу необхідна умова , де - скалярний множник. Тобто або, якщо врахувати (4),

.

При одержуємо P_n – P_n-1 = λ(Q₁ – P_n). Якщо ще накласти умову, щоб дотичні вектори у точці переходу були однакові (тобто ), то маємо співвідношення для умови неперервності перших похідних Q₁+P_n-1=2P_n, яке означає, що точка є середньою точкою відрізка . При цьому .

Умова дає співвідношення для умови неперервності других похідних:

(вектори йдуть уздовж діагоналі паралелограма, що побудований на двох останніх відрізках першого характеристичного багатокутника і на двох перших відрізках другого характеристичного багатокутника).

 

На практиці часто розглядають базовий чотирикутник, для якого . У цьому випадку маємо:

, ,

,

і рівняння кривої Без’є приймає вигляд:

або .

 

Легко бачити, що при крива Без’є з характеристичним чотирикутником є кубічний сплайн з початковою точкою , кінцевою точкою і напрямками дотичних у кінцевих точках, що проходять відповідно через точки і (тобто визначаються сторонами і характеристичного чотирикутника).

Для того, щоб при спряженні двох кривих Без’є з характеристичними чотирикутниками і були неперервні дотичні вектори у точках переходу , необхідно щоб відрізки і були рівні і паралельні.