Методичні вказівки до виконання завдань

.

Завдання прикладів будемо розв'язувати для конверта з вершинами А(-2,-1), В(-2,1), С(2,1), D(2,-1) і значеннями параметрів: m₁ =21, m₂ =-20, d =29, k =2, a=30. Параметри екрана m_х =640, m_у =480.

Завдання 1.

1) Знайдемо координатні перетворення для зсуву T_{21,-20} на вектор m ={21,-20} для звичайних координат , або . У однорідних координатах , або ,

де [ x y z ] – матриця розмірів 1×3, c(Т_{21,-20}) = 1.

2) Знайдемо математичні координати (х,у) вершин перетвореного конверта:

[Ф_Т] = [Ф][T_{21,-20}] = .

Отже після зсуву маємо такі координати вершин: А'(19,-21), B'(19,-19), C'(23,-19), D'(23,-21).

Завдання 2.

1) Для знаходження центральної симетрії відносно точки з координатами {29,29} можна зразу скористатись матрицею із таблиці базових перетворень площини. А ми скористаємось методом координатних перетворень (або зміни координат) і формулою S=T×S_O×T^-1, де S_O - центральна симетрія на площині відносно початку координат, Т - паралельний зсув на площині у напрямку вектора m ={29,29}.

Формулу S=T×S_O×T^-1 будемо розуміти так. Окрім початкової основної системи координат введемо допоміжну систему координат з центром у точці М={29,29}, осі якої паралельні і однаково напрямлені з осями основної системи координат. Нехай точка має (х,у)-координати в основній системі координат і (х',у') - в допоміжній. Тоді . Це паралельний зсув усієї площини T_{-29,-29}=T^-1. Далі виконуємо центральну симетрію в допоміжній системі координат і повертаємо осі назад. Для координатних перетворень маємо: , , . Виключаючи проміжні змінні (х',у') і (х'',у''), одержуємо . Для однорідних координат { x,y,z } маємо або , c(S_{29,29})=1.

Завдання 3.

1) Для центральної гомотетії Н= відносно точки з координатами {29,-29} і коефіцієнтом гомотетії k=2 маємо координатні перетворення у однорідних координатах (див. табл. 7)

, або , c()=4.

2) Знаходимо математичні координати вершин перетвореної фігури:

[Ф_Н] = [Ф][ ] = .

Завдання 4.

1) Для обертання скористаємось формулами таблиці базових перетворень площини. Координатні перетворення у звичайних координатах: .

Або у матричному вигляді: .

Для однорідних координат {x,y,z} маємо: , або у матричному вигляді: , c()=1.

2) Для побудови перетвореного конверта достатно знайти наближені математичні координати його вершин, використавши наближення до матриці перетворення :

[Ф_R] = [Ф]∙[ ] = .

 

3) Побудова математичного вікна.

Визначимо математичні координати центру області відображення S(s_x,s_y): s_x = (x_max+x_min)/2 = 5,425, s_y = ₍y_mах+y_min) /2 = 9,563. Визначимо розміри вікна приладу m_x і m_y. Виберемо математичне вікно так, щоб у ньому були розташовані усі потрібні об'єкти (у нашому випадку задана і перетворені фігури). Для цього спочатку покладемо r_x = x_max - x_min, далі підраховуємо r_y = r_x∙m_y/m_x. Якщо виявиться, що r_y < y_mах - y_min, то r_y = y_mах - y_min і r_x = r_y∙m_x/m_y. Для розміщення зображення ближче до центру збільшимо r_x і r_y вдвічі.

 

4) Розраховуємо координати приладу для всіх фігур, що знаходяться в області відображення, і заповнюємо таблицю 6 (формули розрахунку наведені у теоретичних відомостях)

 

Таблиця 6 – Математичні координати і координати приладу для фігур, що виводяться на екран

 

Вершини	Математичні координати	Координати приладу
Заданої фігури	Перетвореної фігури	Заданої фігури	Перетвореної фігури
х	у	х	у	x	h	x	h
А	-2	-1	9,37	16,52
В	-2	1	8,37	18,26
С	2	1	11,85	20,26
D	2	-1	12,85	18,52