Розв’язання рівняння методом простих ітерацій

Порядок виконання.

 

Для заданого рівняння :

1) Виконати пункти 1-3, що зазначені у методі дихотомії.

2) Записати рівняння у вигляді . Це виконується наступним чином: записуємо рівняння у вигляді f₁(x)=f₂(x) і покладемо φ(х)=f₁^-1(f₂(x)).

3) Знайти першу (і, за необхідністю, другу ) похідну функцїї .

4) Знайти оцінку зверху модуля першої похідної функцїї , тобто (найкраще взяти ).

5) Перевірити умову стиску для функцїї φ(х): . Якщо вона не виконується, то перетворити задане рівняння до виду х = φ(х) з іншою функцією (зазвичай це функція φ(х)=f₂^-1(f₁(x)), що є оберненою до функцїї , яка була знайдена раніше). У випадку, коли , число називається коефіцієнтом стиску.

При цьому повинна виконуватись нерівність Ліпшиця:

.

6) Уточнити цей корінь із заданою точністю методом ітерацій. Результати обчислень звести у таблицю 4 (див. нижче).

7) Порівняти результати, що одержані трьома методами.

Теоретичні відомості.

 

Ітераційний схема для методу простої ітерації при наявності стискання має вигляд:

 

Як стартове значення ітераційної змінної можна взяти будь-яке число із .

Ітераційний крок:

Момент зупинки. Обчислення завершуємо привиконанні умови , тобто за величиною кроку , де . Заповнюємо таблицю 4 із шапкою виду (графа 3 може складатись з декількох граф, для запису проміжних позначень):

 

Таблиця 4 - Розрахункова таблиця розв’язання рівняння методом ітерацій

n

 

Зупинка обчислень ведеться за графою 4, коли число в цій графі стане менше ніж .

Зауваження 5. Одною з помилок, що найбільш часто зустрічається, є зупинка за умовою , коли замість використовують . Як видно з попереднього, тільки при .

Контрольні запитання.

1. Теорема про існування коренів нелінійного рівняння з однією змінною на заданому інтервалі.

2. Теорема про умови єдиності кореня нелінійного рівняння з однією змінною на заданому інтервалі.

3. Метод дихотомїї. Похибка розрахунків.

4. Метод дотичних. Умови застосування. Ітераційна схема. Вибір стартового значення. Момент зупинки при розрахунках.

5. Стискуюче відображення і коефіцієнт стиску.

6. Метод простих ітерацій. Ітераційна схема. Вибір стартового значення. Оцінка похибки розрахунків.

7. Метод простих ітерацій. Момент зупинки.

 

Тема 3. РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ РІЗНИМИ МЕТОДАМИ

Завдання 3. Розв’язати систему лінійних рівнянь (СЛР) за формулами Крамера, методом Гауса і методом простих ітерацій з точністю .

Варіанти до завдання 3

 

1.		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.

x - перша справа цифра номера залікової книжки, що не дорівнює нулю. Ставиться на місце розряду 10^-2 числа (наприклад, при номері залікової книжки 124730 за 8,0ξ приймаємо число 8,03).

 

Виконання завдання 3 складається з двох частин.

 

Частина 1 завдання 3. Розв ’ язання СЛР неітераційними методами.

 

Для заданої СЛР (у формі Ах=b) і заданої точності розрахунків

1) знайти її розв'язок за допомогою формул Крамера. Зробити перевірку розв'язання і знайти вектор нев’язок,

2) знайти розв’язок методом Гауса з вибором головного елементу і виділенням прямого і оберненого ходів. Зробити перевірку розв’язання і знайти вектор нев’язок. Результати розрахунків наводити за кроками алгоритма методу Гауса.

Частина 2 завдання 3. Розв ’ язання СЛР ітераційними методами.

 

Для заданої СЛР і заданої точності розрахунків

 

1) записати систему Ах=b у вигляді , де , - вектор-стовпець і B - квадратна матриця розмірів 3´3;

2) знайти m,l,k -норми матриці B;

3) знайти коефіцієнт стиску і впевнитись, що .Вибрати відповідну норму матриці, для якої . Знайти відповідну векторну норму , для якої є підлеглою нормою;

4) вибрати стартове значення (наприклад, );

5) записати ітераційний крок x⁽ⁿ⁺¹⁾=Bx⁽ⁿ⁾+d, n=0,1,2,…;

6) знайти величину кроку , яка забезпечує досягнення заданої точності розрахунків, тобто знайти момент зупинки;

7) скласти і заповнити розрахункову таблицю із шапкою виду:

Таблиця 5 - Розрахункова таблиця знаходження розв’язку СЛР методом простих ітерацій

 

Зупинка розрахунків виконується за графою 10, коли величина ітераційного кроку (число в графі 10) стане менше .

8) знайти відповідний вектор нев’язок;

9) порівняти вектори нев’язок, одержані для кожного з трьох методів.

Контрольні запитання до першої частини завдання 3.

1. Лінійний векторний простір. Лінійна залежність і незалежність векторів. Базис системи векторів.

2. Матриці і дії над ними.

3. Ранг матриці. Метод обвідних визначників знаходження рангу матриці.

4. Визначник квадратної матриці. Властивості визначників.

5. Нижня і верхня трикутні матриці. Визначник такої матриці.

6. Система лінійних рівнянь. Основна і розширена матриця системи. Сумісність і несумісність СЛР. Теорема Кронекера-Капелі.

7. Однорідна і неоднорідна СЛР. Структура їх множин рішень.

8. Головний і допоміжний визначники квадратної системи рівнянь. Формули Крамера.

9. Метод Гауса розв’язання СЛР, знаходження значення визначника і оберненої матриці.

Контрольні запитання до другої частини завдання 3.

1. Норма вектора, норма матриці і підлегла норма (норма лінійного перетворення).

2. Стискуюче відображення і коефіцієнт стиску.

3. Метод простих ітерацій розв’язання СЛР. Ітераційний крок методу.

4. Вибір стартового вектора і момент зупинки.

Література

1. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений, Том 1, М., Наука, 1966.

2. Данилина Н.И.,Дубровская Н.С.,Кваша О.П.,Смирнов Г.Л., Вычислительная математика, М., Наука, 1985.

3. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительной математики, М., Наука, 1966.

4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах., М., Наука, 1972.

5. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И., Численные методы в инженерных исследованиях, К., Вища школа, 1986.

6. Турчак Л.И., Основы численных методов, М., Наука, 1987.

7. Математичні моделі в САПР. Лінійні моделі. (Методичні вказівки) \ Укл.:Чумак О.О. - К., КДУТД, 2001.

8. Математичні моделі в САПР. Нелінійні моделі. (Методичні вказівки) \ Укл.:Чумак О.О. - К., КНУТД, 2002.

 

КОНТРОЛЬНА РОБОТА №2