Описание простейшей системы с отказами

Дано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S ₀ – канал свободен; S ₁ – канал занят. Переход из S ₀ в S ₁ связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S ₁ в S ₀ осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.16.1).

Рис.16.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками - );

– интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания )

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения: и .

Пример. Технологическая система состоит из одного станка. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа . Среднее время изготовления одной детали равно . Если при поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется на другой станок. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению детали.

Решение.

Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.

.

Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие станки.

Процессы гибели размножения. Математическое описание.

Марковский процесс с дискретными состояниями называют процессом гибели – размножения, если он имеет размеченный граф состояний следующего вида:

Т.е. каждое из состояний системы связано с двумя соседними состояниями прямой и обратной связью, крайние состояния имеют только по одному соседнему.

Здесь lij – плотность вероятности перехода системы из состояния Si в состояние Sj в момент времени t.

Эта плотность находится по формуле: , где Δt – время перехода из одного состояния в другое.

 

 

 

14. Общая структура СМО…. См вопрос №9