Свойства потоков. Простейший поток. Вывод уравнений Колмогорова

 

1) Стационарность означает, что характеристики потока не зависят от времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных перио­дов времени, к примеру, в начале и в конце декады. Интенсивность потока – это среднее число событий приходящих в единицу времени.

; Δn_i(t) - число отказавших элементов за время Δt; n₀(t) - число исправных элементов к моменту времени t; λ_i –интенсивность потока отказов, i=1,2; μ_i –интенсивность потока восстановления, i=1,2

2) Ординарность означает, что вероятностью наступления двух и более событий в течение малого интервала времени Δt можно пренебречь.

3) Отсутствие последействия, которое обуславливает взаимную не­зависимость поступления того или иного числа требований на обслужи­вание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от чис­ла требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Напри­мер, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день ме­сяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

Поток отказов, который удовлетворяет трем названным условиям называют простейшим потоком отказов. Если все потоки событий (отказов или восстановлений) переводящих систему из одного состояния в другое – простейшие, то протекающий в системе процесс будет Марковским

 

Уравнения Колмогорова для определения вероятностей состояний системы.

Пример: техническое устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего, практически мгновенно, начинается ремонт узла, который продолжается заранее известное время.

Составим размеченный граф переходов:

Возможные состояния:

z₀ – оба исправны.

z₁ – первый ремонтируется, второй исправен.

z₂ – второй ремонтируется, первый исправен.

z₃ – оба ремонтируются.

Интенсивность потока отказов – это среднее число отказов на единицу времени.

Δn_i(t) - число отказавших элементов за время Δt; n₀(t) - число исправных элементов к моменту времени t; λ_i –интенсивность потока отказов, i=1,2; μ_i –интенсивность потока восстановления, i=1,2

P­_i(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии z_i

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестными являются вероятности p_i(t) называют уравнениями Колмогорова

P­₀(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии z₀

Дадим малое приращение t+∆t и найдём p₀(t+∆t) – вероятность того, что система будет находиться в состоянии z₀ в момент времени t+∆t

1. p₀(t)[1- ]

λ- выводящие потоки

- вероятность того, что за время система выйдет из состояния z₀

2. p₁(t)

- Вероятность перехода системы из состояния z₁ в состояние z₀ за время

3. p₂(t)

- Вероятность перехода системы из состояния z₂ в состояние z₀ за время

p₀(t+∆t)= p₀(t)[1- ]+ p₁(t) + p₂(t)

Любое из этих уравнений можно отбросить и заменить на уравнение формировки p₀+p₁+p₂+p₃=1

Начальные условия p₀(0)=1 p₁(0)=p₂(0)=p₃(0)=0