N-канальная СМО с отказами. Основные соотношения.

Рассмотрим на примере 2 канальной системы с 2 местами в очереди.

S0 – система в режиме ожидания

S1 –1 канал занят, очереди нет

S2 – 2 канала занято, очереди нет

S3 – 2 канала занято, 1 в очереди

S4 – 2 канала занято, 2 в очереди

 

Лямбда – интенсивность поступления заявок, Время обслуживания Тобс = 1/Мю

- приведенная интенсивность (кол-во заявок приходящих в систему в реднем за среднее время обслуживания одной заявки)

Pотказа =

Относительная пропускная способность: Q = 1 - Pотказа

Среднее число занятости канала:

P1 = P0; P2 = ; P3 =

Lсист = ; Lоч =

- среднее время нахождения заявки с системе, и среднее время в очереди (tоч)

tсист и tоч – формулы Литтла

 

число занятых каналов:

Вывод формулы Эрланга

Рассмотрим систему, которая может обслуживать одновременно m требований. Будем считать, что имеется m линий и очередное требование поступает на одну из линий, если хотя бы одна из них свободна; в противном случае поступающее требование получает отказ и уходит из сферы обслуживания.

Предположим, что поток требований является пуассоновским с параметром , требования обслуживаются независимо и время обслуживания каждого требования (на каждой из m линий) распределено по показательному закону с параметром .

Рассмотрим состояния k=0,1,…,m, где состояние k означает, что занято ровно k линий.

Переход системы из состояния в состояние с течением времени t представляет собой марковский процесс, плотности перехода которого имеют вид

Действительно, переход из k в k+1 осуществляется при поступлении очередного требования, что происходит за время с вероятностью .

Вероятность того, что ни одна из k занятых линий не освободится за время , есть (поскольку линии обслуживаются независимо одна от другой) и вероятность освобождения одной из линий, т.е. перехода из состояния k в k-1 есть .

Вероятность других изменений в системе за промежуток времени есть .

Стационарные вероятности могут быть найдены из уравнений:

Из этих уравнений получаем, что

Найденные выражения для стационарных вероятностей называются формулами Эрланга.

Вывод формул Литтла.

Выведем одну важ­ную формулу, связывающую (для предельного ста­ционарного режима) среднее число заявок Lсист, на­ходящихся в системе массового обслуживания (т. е. об­служиваемых или стоящих в очереди), и среднее вре­мя пребывания заявки в системе Wсист.

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многока­нальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею 2 потока событий:

поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО.

Если в системе установился предельный, стационарный ре­жим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интен­сивность λ.

Обозначим: Х(t)—число заявок, прибывших в СМО до момента t,

Y(t) — число заявок, покинувших СМО до момента t.

Рис.1 Траектории X(t) и Y(t)

И та, и другая функции являются слу­чайными и меняются скачком (увеличиваются на еди­ницу) в моменты приходов заявок (X(t)) и уходов зая­вок (У(t)). Вид функций X(t) и У(t) показан на рис.1; обе линии — ступенчатые, верхняя — X(t), нижняя — Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z(t) = Х(t) —Y(t) есть не что иное, как чис­ло заявок, находящихся в СМО. Когда линии X(t) и У(t) сливаются, в системе нет заявок.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чер­тежа) и вычислим для него среднее число заявок, на­ходящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функ­ции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис.1. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высо­ту, равную единице, и основание, равное времени пре­бывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t1, t2,... Правда, в конце промежутка Т некоторые прямоуголь­ники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли. Таким образом, можно считать, что

, где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

 

Разделим и умножим правую часть на ин­тенсивность λ: .

Но величина Т λ есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен t на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wсист. Итак, L= λ W, откуда Wсист = Lсист / λ. (1)

Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при лю­бой дисциплине обслуживания среднее время пре­бывания заявки в системе равно среднему числу зая­вок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заяв­ки в очереди Wоч и среднее число заявок в очереди Lоч: Wоч =Lоч / λ.

Для вывода достаточно вместо нижней линии из рис.1 взять функцию U(t) — количество заявок, ушедших до момента Т не из системы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет под обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находит­ся в ней нулевое время).

Формулы Литтла играют большую роль в теории массового обслуживания.