Правила деления суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел

Правила деления суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел

а) если каждый из чисел а и в делится на некоторое третье число с, т.е. сумма (а+в): с, т.е. а: с и в: с => (а+в): с

б) если каждый из чисел а и в делится на некоторое третье число с, то и разность а-в на него делится

в) если в сумме одно слагаемое не делится на число в, а все остальные делятся на в, то вся сумма на число в не делится

г) если не одно из слагаемых а и в неделится на с, то сумма а+в может делится, а может не делится (5 не делится на 3, 8 не: 3, 5+8=13. 13 не:3 или 5 не: на 3, 7 не:3, 5+7=12,12:3)

д) если хотя бы один из множителей: на какое-нибудь число, то всё произведение делится на это число.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9

Теорема: Если а произвольное число в и с взаимопростые, то для делимости а на произведение в х с необходимо и достаточно чтобы а делилось на каждое из чисел в и с в отдельности. Любое составное число можно представить в кононическом виде (образцовый, стандартный) а=p₁^£1 p₂^£2 p_n^£n где сомножители p₁,p₂ и т.д. простые числа. £1, £2 – показатели натуральные числа.

Имея кононическое представляем двух чисел а=p₁^£1 р₂^£1 p_n^£n b= p₁^β1 p₂^£2, p_n^£n то можно сказать делится ли первое из них на второе основываясь на общие признаки делимости.

Определение. Одно число делится на двузначное тогда и только тогда, когда показатели всех простых сомножителей кононического представление первого числа не меньше соответствующих показателей второго числа.

24:12

24= 2х2х2х3х1 12=2х2х3х1(раскладываем на множители)

24=2³х3

12= 2²х 3

Существуют как общие признаки делимости так и специальные для десятичных чисел.

а) десятичное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

б) десятичное число делится на 3 тогда, тогда делится на 3 сумма всех его цифр.

в)десятичное число делится на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится число изображаемое двумя последними его цифрами.(1234586 16 делится на 4)

г) десятичное число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.

д) Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, 12345678 делится на 9, то есть на 9 делится 1+2+3+4+5+6+7+8=36

ж) на 6 делятся те десятичные числа, которые делятся и на 2 и на3. (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное(НОК).

Общим делителем натуральных чисел а и в назыв. всякое натуральное число явл-мся делителем каждого из данных чисел. Наибольшее число из всех делителей чисел а и в называется наибольшим общим делителем данных чисел. Обозначается К (а,в)

Общим кратным натуральных чисел а и в называется число, которое кратно каждому из данных чисел. Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и в называется наименьшим общим кратным этих чисел. Обозначается К (а,в) (напр. общее кратное чисел 5 и 7 явл. 35,70, 140. НОК 35)

Или

Общий делитель нескольких чисел – это число, которое является делителем для каждого из этих чисел. Например, общими делителями чисел 24, 30 и 18 являются числа 2, 3 и 6.

Наибольший общий делитель (обозначается НОД) – это наибольшее число из общих делителей. Например, НОД (24, 30,18) = 6.

Общее кратное нескольких чисел – это число, которое является кратным каждому из этих чисел. Например, для чисел 3 и 6 общими кратными являются 12, 24, 36 и т.д.

Наименьшее общее кратное (обозначается НОК) – это наименьшее из общих кратных. Наименьшее общее кратное чисел (НОК) – это такое минимальное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Например, НОК (3,6) = 6, НОК (24,30,18) = 360.

НОД и НОК можно найти, применяя разложение чисел на простые множители.

Для НОД нужно выписать все множители, которые входят в разложения данных чисел. Затем каждый такой множитель следует взять с наименьшим показателем, с которым он входит во все данные числа, после чего нужно произвести умножение.

Например,

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.

30 = 2 · 3 · 5

18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32

В нашем примере множители, которые входят в разложение каждого числа – это 2 и 3. Их минимальная степень – это единица.

Тогда НОД (24,30,18) = 2 · 3 = 6.

Если НОД (a, b) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми. Например, числа 15 и 8 являются взаимно простыми, хотя каждое из них – составное.

Для определения НОК нужно выписать все множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений данных чисел. Затем каждый такой множитель следует взять с наибольшим показателем, с которым он входит в одно из чисел, после чего нужно произвести умножение.

Например,

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.

30 = 2 · 3 · 5

18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32

В нашем примере множители, которые входят в разложение каждого числа – это 2, 3 и 5. Их максимальные степени – это соответственно 3,2 и 1.

Тогда НОК (24,30,18) = 23 · 32 · 5 = 360.

Основная теорема арифметики

Любое составное число можно единственным образом представить виде произведения простых множителей.

Каждое натуральное число представляется в виде , где суть простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Основная теорема арифметики/рамка Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число единственным образом представимо в виде , где — простые числа, и — некоторые натуральные числа.

Следствия теоремы

Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида:

сли простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y. Основная теорема арифметики/рамка

Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n/p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

Алгоритм умножения

Чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

-умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

-складывать многозначные числа.

В основе алгоритма умножения многозначного числа на однозначное лежат следующие теоретические факты: запись чисел в десятичной системе счисления;свойства сложения и умножения;таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

537·4.

Решение. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 537 можно представить в виде 5·102 + 3·10 + 7 и тогда 537·4 = (5·102 + 3·10 + 7)·4. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (5·102)·4 + (3·10)·4 + 7·4. Далее воспользуемся коммутативностью и ассоциативностью умножения: (5·4)·102 + (3·4)·10 + (7·4). Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 20·102 + 12·10 + 28. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 20·102 + 12·10 + 28 – коэффициенты перед степенями числа 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 20 в виде 2·10, число 12 в виде 1·10 + 2, а число 28 в виде 2·10 + 8. затем в выражении (2·10)·102 + (1·10 + 2)·10 + + (2·10 + 8) раскроем скобки: 2·103 + 1·102 + 2·10 + 2·10 + 8.

На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 2·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 2·103 + 1·102 + (2 + 2)·10 + 8. Сумма 2 + 2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 2·103 + 1·102 + 4·10 + 8. Полученное выражение есть десятичная запись числа 2148, т.е. 537·4 = 2148.

В общем виде алгоритм умножения многозначного числа a_n a_n-1…a₁ a₀

на однозначное число у в столбик формулируется так:

-Записываем второе число под первым.

-Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

-Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + c0, где с0 – однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 – перенос в следующий разряд.

-Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в пункты 2 и 3.

-Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Алгоритм деления

Проиллюстрировать теоретические основы деления многозначного числа 4316 на многозначное число 52.

Решение. Разделить 4316 на 52 – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316 = 52 q + r, 0 ≤ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52(q + 1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q – двузначное число), так как 520 < 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

52·(80 + q0) ≤ 4316 < 52·(80 + q0 + 1),

4160 + 52 q0 ≤ 4316 < 4160 + 52·(q0+ 1),

52 q0 ≤ 153 < 52·(q0 + 1).

Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52·3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

Двоичная система счисления.

Двоичная система счисления, система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел, с основанием 2. В Д. с. с. используются только два знака — цифры 0 и 1; при этом, как и во всякой позиционной системе, значение цифры зависит дополнительно от занимаемого ею места. Число 2 считается единицей 2-го разряда и записывается так: 10 (читается: "один, нуль"). Каждая единица следующего разряда в два раза больше предыдущей, т. е. эти единицы составляют последовательность чисел 2, 4, 8, 16,..., 2n,... Для того чтобы число, записанное в десятичной системе счисления, записать в Д. с. с., его делят последовательно на 2 и записывают получающиеся остатки 0 и 1 в порядке от последнего к первому, например: 43 = 21·2 +1; 21 = 10·2 +1; 10 = 5·2+0; 5=2·2+1; 2 = 1·2+ 0; 1 =0·2 + 1; итак, двоичная запись числа 43 есть 101011. Т. о., 101011 в Д. с. с. обозначает 1·20+1·21 + 0×22 +1×23 + + 0·24 + 1·25.

 

В Д. с. с. особенно просто выполняются все арифметические действия: например, таблица умножения сводится к одному равенству 1·1 = 1. Однако запись в Д. с. с. очень громоздка: например, число 9000 будет 14-значным. Но благодаря тому, что в Д. с. с. используются лишь две цифры, она часто бывает полезной в теоретических вопросах и при вычислениях на ЦВМ.

17. Определение числовой функции. Ее св-ва. Способы задания функций. График функций.

Соответствие м/у множеством Х и множеством У, при котором каждому элементу множ-ва Х ставится в соответствии один и только один элемент множества У называется функцией.

Множества Х назав. областью определения функции. Множества У назыв. областью ее значения. Функция задана, если: 1.задана ее обл. определения (Х); 2. задана обл. ее значения.(У); 3. известно правило(закон) соответствия.

Закон соответствия должен быть таким, чтобы каждому значению из области определения функция соответст. единственная значение области значениям функций.

При задании функции требования единственности ее значения являются обязательными.

Функция называется числовой если элементы множества Х и У числа элементы обозначаются х,у закон символом f отсюда запись функциональной зависимости: у= f(х) х – аргумент, у- функция.

способы задания функций: 1. аналитический (в виде формулы) у=f(х), у=х³+1

2. табличный способ

3. графический способ

График функции.

пусть функция задана правилом соответствия у=f(х) и область определения х. Выберем на плоскости систему координат х 0у х

 

у

на оси ох (ось абсцисс) откладываем значение х по оси координат оу значение у строим точки и соединяем их получаем график.

Определение: Множество всех точек у которых абсциссы составляют область определения функции, а ординаты равны соответствующим значением этой функции называется графиком функции.

Правила деления суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел

а) если каждый из чисел а и в делится на некоторое третье число с, т.е. сумма (а+в): с, т.е. а: с и в: с => (а+в): с

б) если каждый из чисел а и в делится на некоторое третье число с, то и разность а-в на него делится

в) если в сумме одно слагаемое не делится на число в, а все остальные делятся на в, то вся сумма на число в не делится

г) если не одно из слагаемых а и в неделится на с, то сумма а+в может делится, а может не делится (5 не делится на 3, 8 не: 3, 5+8=13. 13 не:3 или 5 не: на 3, 7 не:3, 5+7=12,12:3)

д) если хотя бы один из множителей: на какое-нибудь число, то всё произведение делится на это число.