Алгоритмы. Сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел.

Практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.+ 341

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами: 341+7238=(3·10²+4·10+1)+(7·10³+2·10²+3·10+8).Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы ед. оказались рядом с ед., десятки с десятками и т.д. свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3·10²+4·10+1+7·10³+2·10²+3·10+8. На основании св-ва коммутативности поменяем местами слагаемые 7·10³+3·10²+2·10²+4·10+3·10+1+8. Согласно св-ву ассоциативности, произведем группировку: 7·10³+(3·10²+2·10²)+(4·10+3·10)+(1+8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 10², а во второй -10.В соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7·10³+(3+2)·10²+(4+3)·10+(1+8). Все свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7·10³+5·10²+7·10+9.Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения мног. чисел лежат следующие теоретические факты:

-способ записи чисел в десятичной системе счисления; -св-ва коммутативности и ассоциативности сложения;- дистрибутивность умножения относительно сложения; таблица сложения однозначных чисел.

Алгоритм вычитания В основе алгоритма вычитания многозначного числа из многозначного лежат следующие теоретические факты:

· способ записи числа в десятичной системе счисления; правила вычитания числа из суммы и суммы из числа; свойство дистрибутивности умножения относительно вычитания;таблица сложения однозначных чисел.

Рассмотрим разность чисел 586 и 342. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 586–342 = (5·10² + 8·10 + 6)–(3·10² + 4·10 + 2).

Чтобы вычесть из числа 5·10² + 8·10 + 6 сумму 3·10² + 4·10 + 2, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (5·10² + 8·10 + 6) – (3·10² + 4·10 + 2) = (5·10² + 8·10 + 6) – 3·10² – 4·10 – 2.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-нибудь одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 3·10² вычитаем из слагаемого 5·10², число 4·10 – из слагаемого 8·10, а число 2 – из слагаемого 6, тогда:

(5·10² + 8·10 + 6) – 3·10² – 4·10 – 2 = (5·10² – 3·10²) + (8·10 – 4·10) + (6 – 2).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (5 – 3)·10² + (8 – 4)·10 + (6 – 2). Видим, что вычитание трехзначного числа 342 из трехзначного числа 586 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 5 – 3, 8 – 4 и 6 – 2 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2·10² + 4·10 + 4, которое является записью числа 244 в десятичной системе счисления. Таким образом, 586 – 342 = 244.

Алгоритм умножения

Чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

-умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

-складывать многозначные числа.

В основе алгоритма умножения многозначного числа на однозначное лежат следующие теоретические факты: запись чисел в десятичной системе счисления;свойства сложения и умножения;таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

537·4.

Решение. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 537 можно представить в виде 5·102 + 3·10 + 7 и тогда 537·4 = (5·102 + 3·10 + 7)·4. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (5·102)·4 + (3·10)·4 + 7·4. Далее воспользуемся коммутативностью и ассоциативностью умножения: (5·4)·102 + (3·4)·10 + (7·4). Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 20·102 + 12·10 + 28. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 20·102 + 12·10 + 28 – коэффициенты перед степенями числа 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 20 в виде 2·10, число 12 в виде 1·10 + 2, а число 28 в виде 2·10 + 8. затем в выражении (2·10)·102 + (1·10 + 2)·10 + + (2·10 + 8) раскроем скобки: 2·103 + 1·102 + 2·10 + 2·10 + 8.

На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 2·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 2·103 + 1·102 + (2 + 2)·10 + 8. Сумма 2 + 2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 2·103 + 1·102 + 4·10 + 8. Полученное выражение есть десятичная запись числа 2148, т.е. 537·4 = 2148.

В общем виде алгоритм умножения многозначного числа a_n a_n-1…a₁ a₀

на однозначное число у в столбик формулируется так:

-Записываем второе число под первым.

-Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

-Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + c0, где с0 – однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 – перенос в следующий разряд.

-Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в пункты 2 и 3.

-Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Алгоритм деления

Проиллюстрировать теоретические основы деления многозначного числа 4316 на многозначное число 52.

Решение. Разделить 4316 на 52 – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316 = 52 q + r, 0 ≤ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52(q + 1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q – двузначное число), так как 520 < 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

52·(80 + q0) ≤ 4316 < 52·(80 + q0 + 1),

4160 + 52 q0 ≤ 4316 < 4160 + 52·(q0+ 1),

52 q0 ≤ 153 < 52·(q0 + 1).

Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156 = 52·3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.