Определение уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Определение уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения.



Определение. Равенство вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x)— некоторые функции от х, называется уравнением с одной переменной х.

Уравнением с одной переменной x называется выражение f(x) = g(x), содержащее переменную величину x и знак равенства.

 

Число a называется корнем (или решением) уравнения f(x) = g(x), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это число, например, 15 или 2, поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f(x) = g(x) и f1(x) = g1(x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений.

Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f(x) = g(x) и f1(x) = g1(x) равносильны, записывается так: f(x) = g(x) <=>f1(x) = g1(x) здесь <=> – знак равносильности.

29. Определение неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства.

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(x) > g(x) или f(x) < g(x) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.

Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

Равносильность неравенств

При решении неравенств, как и при решении уравнений, широко используется понятие равносильности.

Неравенство и неравенство называют равносильными на множестве , если множества решений этих неравенств совпадают, т. е. каждое решение неравенства , принадлежащее множеству , является решением неравенства и, обратно, каждое решение неравенства , принадлежащее множеству , является решением неравенства . Если неравенства и не имеют решений, то эти неравенства считаются равносильными.

Сформулируем основные утверждения, связанные с понятием равносильности.

 

Применяя утверждения 1 и 3 к линейным неравенствам, т. е. к неравенствам вида , , получаем: если , то неравенство равносильно неравенству , т. е. решениями неравенства являются все числа из промежутка и только эти числа; если , то неравенство равносильно неравенству т. е. множество решений неравенства - промежуток

В случае, когда и для всех , неравенство равносильно неравенству

Например, неравенство , где , равносильно неравенству . В частности, неравенство равносильно неравенству , т. е. множество решений неравенства - это интервал

30.Определение уравнения с двумя переменными (пример)

Определение: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

5х+2у=10, -7х+у=5, х-у=-2. Как они составлены?

ax + by = c – линейное уравнение с двумя переменными, где х и у – переменные, a, b,c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнения с двумя переменными х-3у=10. При каких значениях переменных Х и У получится верное равенство.

Если х=10, а у=0, то x-3y=10 – верное равенство.

Если х=16, а у=2, то x-3y=10 – верное равенство.

Если же х=-2, у=-3, то x-3y=10 – неверное равенство.

При х=0, у=7, x-3y=10 – тоже неверное равенство.

Определение. уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Пример: 5x+2y=10

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1

x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

 

31. Уравнение линии

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;

2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;

3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче.

Рассмотрим плоскость, на которой геометрическими объектами являются различные линии и требуется изучать их свойства. Для этого введем на плоскости некоторую декартову систему координат и возьмем на некоторой линии L произвольную точку M(xy). Если точку M(xy) перемещать вдоль L, то ее координаты будут меняться, но не произвольно. Между ними существует некоторая связь, которая определяется геометрическими свойствами линии L. Определение. Cвязь y = f(x) или F(xy) = 0 называется уравнением линии L, если этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии L.

Таким образом, координаты на плоскости позволяют для каждой линии выписать некоторое уравнение, которое определяется геометрическими свойствами линии, кроме того, оказывается, что каждому уравнению можно поставить в соответствие некоторую линию, и только координаты точек этой линии будут удовлетворять данному уравнению. В связи с этим возникают две задачи.
1. По геометрическим свойствам линии требуется составить ее уравнение.
2. По некоторому уравнению требуется установить геометрические свойства линии, которая этим уравнением определяется.

 

32.Уравнение окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О (х0, у 0) имеет вид:

(х – х0)² + (у – у 0)² = R².

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

х ² + у² = R²

Вы уверены что знаете, что такое окружность? Окружность- это не только замкнутая линия, но и совершенная линия, так считал Аристотель. А как считают сейчас? Где вы видите окружность? А она... Эллипс - окружность?

 

Немного истории. Только в Древней Греции окружность и круг получили свои названия.

Самая простая из всех кривых линий - окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.

Уравнение окружности.

Есть много способов для предоставления уравнения окружности, но как по мне, одним из самых простых это с помощью теоремы Пифагора.

Файл:T.gif теорема Пифагора:

Геометрическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть есть окружность с центром в точке A (a; b) и радиусом R. Возьмем произвольную точку В (x; y) на окружности. Тогда, как видно из рисунка можно применить теорему Пифагора.

Получаем прямоугольный треугольник с сторонами АВ, ВС и СА.

По теореме Пифагора АB2=AC2+BC2

Если применить это к нашей окружности получим следующие уравнение

(x-a)2+(y-b)2= (B-A)2=R2

- это уравнение окружности.

Если центр окружности находится в начале координат, т.е. a=0 и b=0, то уравнение окружности принимает вид:

Обратно: любая точка В, координаты которой удовлетворяет данному уравнению окружности, принадлежат окружности.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 317; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.213.110.162 (0.02 с.)