Непозиционные и позиционные системы счисления

В непозиционных системах знак всегда обозначает одно и тоже число независимо от места. Непозиционная система счисления — система, в которой, значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. Они использовались в древности римлянами, египтянами, славянами и другими народами. Примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, служит римская система счисления.

Цифры в римской системе обозначаются различными знаками: 1—I; 3—III; 5—V; 10—X; 50—L; 100—C; 500—D; 1000—M. Для записи промежуточных значений существует правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а слева — вычитается из него. Так, IV обозначает 4, VI—6, LX— 60, XC—90 и т.д. Число содержащее несколько тысяч записывали повторяя несколько раз знак М. Числа 4-х,5ти значные записывали с помощью цифры m (mille -1000), слева от неё записывались тысячи, справа сотни, десятки, единицы. 133842- С ХХХ III_m DCCCXL II. Основной недостаток непозиционных систем — большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложение и вычитание. Действие вычитание производится когда перед знаком большего узлового числа стоит знак соответствия меньшему узловому числу в сложении наоборот. Например, ХI- 11, IX – 9 IV-4, VIII-8. Для записи числа римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц.

XXXVIII (3 дес. пяток 2 единицы).

678- DC (600) LXX(70) VIII (8)/ Цифры записывали в порядке убывания, слева направо. Иногда порядок цифр менялся. И цифра с меньшим значением оказывалась левее цифры с большим значением. Тогда применялось действие вычитание.

Например, 1969= М (1000) СМ (900) LX (60) IX (9)

Непозиционной системой счисления у греков была система у греков. У них числа обозначались первыми буквами алфавита. 1,2,3,4, 5,6,7,8,9 (α β ….)

10,20,30, 40, 50 (i,, х, μ ν).

Для обозначения чисел 100, 200, 300, 400 и т.д. использовались последние 10 букв.

100 (ρ), 200 (Г), 300 (),

Например: 243 μ ν черта сверху ставилась для отличия числа от слов составленных теми же буквами. При такой записи невозможно усмотреть что число (тау) (300) больше γ (3). Чтобы записать число содержащее несколько тысяч греки записывали число тысяч отдельно, а внизу писали штрих после этого писали число сотен, десятков, единиц.

Например 4315= бτiЕ

Число 10000 называли мериадой, а обозначали буквой М. Если необходимо записать несколько мериад, то число мериад писала ХЕ над буквой М большое.

Позиционная система счисления — система, в которой значение символа зависит от его места в ряду цифр, изображающих число. В позиционных системах счисления один и тот же знак обозначает различные числа в зависимости от места (позиции) на котором находится знак записи числа.

Позиционными системами счисления являются шестидесятиричная вавилонская и десятичная система счисления, двадцатиричная, двенадцатиричная основанная на счете дюжинами.

Позиционной системой счисления была шестидесятиричная (вавилонская) вавилонская нумерация была основана на двух клинописных знаках. (1 и 60)

(10 и 600). При записи чисел от единицы до 60 знаки до единицы и 10 повторялись столько раз, сколько в числе единиц и десятков. Числа кратные 60 от 60 до 59х60. Обозначали теми же знаками указывавшими лишь множетель при 60. В последствии значение знаков не изменилось. Последствия 60 десятиричной системы сохранились. В последствии шестидесятеричная система счисления сохранилась, так 1час-60 мин., 1мин.=60 сек.. полный угол 360 градусов.

Культура Древней Руси связана с Византийской т.е. греческой поэтому обозначение чисел были похожи на греческие, т.е. числа обозначались буквами на которыми ставился знак (титло). Но была и другая система обозначения исел высшие десятиричные разряды назывались так: 10000 – тьма народа, 10 тем (легионом), 10 легионов (модром), модр леондров - ворон, 10 воронов (колода).

Для обозначения тьмы быквы соответствовали числам от 1 до 9. И обводились сплошными кружками. для обозначения легионов эти же буквы обводились кружком из точек. для обозначения леодров кружком из лучей.

Выполнить действия над числами было неудобно при такой записи. Для облегчения использовались счетные доски которые назывались абаками. десятиричная запись чисел получила наибольшее распространение в 13 веке. Архимед разработал в работе «саммит» систему счисления основанную на числе 10. Где он вел речь об очень больших числах. Самое большое число было единица с 8 х10¹⁶ нулями.

В современном виде десятеричная система сложилась в 6 веке н.э. в Индии. Важным достижением было введение знака для 0. После чего десятиричная система записи чисел оказалась полностью оформлена.

Десятеричная запись чисел получила наибольшее распр. В 3 веке Архимед разработал в работе «Псалемит» систему счисления основанную на числе 10.Где он вел речь об очень больших числах. В современном виде десятичная система сложилась в 6 веке н.э. в Индии. Важным достижением было введение знака 0. после чего десятичная система записи чисел оказалась полностью оформленной.