Визначення внутрішніх зусиль

Внутрішніми зусиллями, що виникають в поперечних перерізах арки, є згинаючі моменти М, поперечні сили Q і подовжні сили N. Їх визначають при навантаженнях, які діють на арку ліворуч або праворуч даного перерізу.При визначенні внутрішніх зусиль і побудові епюр цих зусиль використовують правила знаків (за винятком знака поздовжньої сили, яка в арках вважається додатньою при стиску) приведені для балок.При розрахунку арок у виразах доцільно позначити вісь, співпадаючу з дотичної до осі арки в даному перерізі u (замість х в балок), перпендикулярну до неї v (замість y), а проекції сил на ці осі відповідно U і V.

З урахуванням висловленого виразу для арок рівняння рівноваги приймають вигляд:

В цих виразах, що входять під знаки сум моменти зовнішніх сил додатні при обертанні за годинниковою стрілкою, проекції V — коли направлені знизу вгору, а проекції U — коли направлені зліва направо.

Визначимо за допомогою виразів внутрішні зусилля в поперечному перерізі k арки, показаної на рис. 4.5, де х і y — координати точки k осі арки; j — кут між дотичної до осі арки в точці k і горизонталлю; Р_у та Р_x — відповідно вертикальна і горизонтальна проекції сили Р; х_р і у_p — координати точки прикладення сили Р.

Рис 4.5

В отримані вирази Q, М і N під знаки сум входять проекції Р_у і Р_x всіх сил Р, прикладених до арки зліва перерізу k. Для перерізу k, показаного на рис. 4.5, під знак кожної

Рис.4.6

суми входить лише одна проекція Р_y, або P_x. Аналогічним шляхом зусилля Q, М і N можуть бути виражені і як проекція правих сил.

При дії на арку тільки вертикального навантаження (рис.4.6,а) горизонтальні проекції Р_x; рівні нулю, проекції Р_y рівні Р, а розпір Н_A = H_B = Н; тому вирази приймають спрощений вигляд:

N_X = .

У трьохшарнірній арці із затяжкою V_a=V⁰_a, V_b=V⁰_b; зусилля в затяжці визначають з рівняння

ΣM_c^лів=0

Згинаючий момент М, поперечна Q і подовжня N сили в будь-якому перерізі трьохшарнірної арки із затяжкою будуть рівні:

а) для ділянок нижче затяжки

б) для ділянок вище затяжки

Як видно з наведених вище формул в арці, порівняно з балкою істотно зменшується згинальний момент і поперечна сила, що є результатом впливу розпору. Наявність в арках розпору викликає необхідність встановлення масивних опор або затяжок, здатних сприймати великі горизонті зусилля.

Раціональним контуром осі арки називається такий, при якому крива тиску від заданого нерухомого навантаження співпадає з віссю арки; отже, при цьому навантаженні у всіх перерізах арки згинаючий момент рівний нулю. Якщо ординати y і η осі арки і кривої тиску визначаються відповідно рівняннями

y=f(x) та h=j(x),

то умовою того, що вісь арки має раціональний контур, є тотожність: y=h

При дії на арку тільки вертикального навантаження

Рис 4.7

чисельник останньої формули рівний згинаючому моменту в простій балці в перетині з абсцисою х, тобто , а тому

Використовуючи співвідношення y=h, одержуємо наступне рівняння раціональної осі арки:

Отже, при вертикальному навантаженні вісь арки буде раціональною, якщо її контур міняється за законом зміни балочного моменту.

Тема 5. Розрахунок балок на рухоме навантаження