Лінії впливу внутрішніх зусиль для балок

Розглянемо способи побудови ліній впливу згинальних моментів і поперечних сил для простої балки.

Почнемо з побудови лінії впливу згинального моменту для перерізу І, щознаходиться на відстанях а від лівої опори і b від правої (рис.5.3, а).

Згинальний момент, що діє в перерізі, дорівнює алгебраїчній сумі моментів зовнішніх лівих сил щодо центра ваги даного переріза або ж сумі моментів правих сил, взятої з протилежним знаком.

Поки вантаж знаходиться правіше перерізу І, тобто поки х < b, лівіше перерізу І існує тільки реакція R_A і момент у перерізі І дорівнює

M₁ = R_A а;

Отже, лінія впливу М₁ може бути отримана з лінії впливу R_A шляхом множення ординат останньої на а.

 

 

Рис. 5.3

 

 

Підставивши значення реакції R_A, одержимо

М₁ =ха/l.

Побудуємо графік останнього рівняння. Для цього обчислимо два значення М₁:

при х = 0 М₁ = 0;

при х = b М₁ == аЬ/1.

За цими даними будуємо пряму, що називається правою прямою лінії впливу М₁ (рис. 5.3, в); її ординати дають значення згинального моменту в перерізі І, коли вантаж Р = 1 розташований праворуч від цього переріза, тобто при х < b.

Коли вантаж розташований ліворуч перерізу І (рис. 5.3, 6), тобто при х ³ b, для визначення згинального моменту в перерізі зручніше розглядати праву частину балки.

 

Тоді М₁ = +R_Bb (момент реакції R_B щодо перерізу I, що діє проти годинникової стрілки, є від’ємним, але викликає додатній згинальний момент, тому що розглядається права частина балки).

Підставивши у вираз для М₁ значення реакції R_B, одержимо

М₁=[(1-х)/1]b.

Для побудови графіка цього рівняння обчислимо два значення М₁:

при х == b М₁ == [(l — b)/l]b = аb/l;

' при х = l М₁ = [(l — l)/l]b = 0.

По цим даним будуємо пряму, що називається лівою прямою лінії впливу М₁ (рис. 5.3, г); її ординати дають значення згинального моменту в перерізі І, коли вантаж Р= 1 розташований ліворуч від цього перерізу, тобто коли х міняється в межах від b до l.

Якщо тепер обидві частини лінії впливу (рис. 5.3, у, г) з'єднати (рис. 5.3, д), то обидві прямі (праву і ліва), що обмежують лінію впливу, перетнуться під перерізом I.

Якщо продовжити прямі, що обмежують лінію впливу М₁, до вертикалей, проведених через опори А и В, то ці прямі на опорах відітнуть наступні ординати: на лівій опорі – ординату а, на правій— ординату b (рис. 5.3, д). Це можна довести підстановкою в рівняння М₁ для правої частини балки значення х = l, а для лівої частини — значення х = 0. Тому практично лінію впливу М₁ часто будують у такий спосіб:

- на лівій опорній вертикалі відкладають вверх ординату, рівну в прийнятому масштабі відстані від перерізу І до лівої опори, і проводять пряму через вершину цієї ординати і нульову точку на правій опорі;

- на правій опорній вертикалі відкладають вверх ординату, рівну відстані від перерізу І до правої опори, і проводять пряму через вершину цієї ординати і нульову точку на лівій опорі. Проведені в такий спосіб дві прямі перетинаються під перерізом І.

Можна рекомендувати і наступний прийом побудови лінії впливу М₁: спочатку побудувати одну з прямих, наприклад праву, а потім для побудови лівої прямої з'єднати нульову точку лівої опори з точкою правої прямої, розташованою під перерізом І.

Ординати лінії впливу згинального моменту мають розмірність довжини; це видно, наприклад, з того, що на лівій опорі відкладається ордината, рівна довжині а. Тому масштаб для ординат лінії впливу згинального моменту можна брати той же, що і для довжини балки.

Ордината лінії впливу М₁ дає величину згинального моменту в перерізі І, коли вантаж Р =1 розташований над даною ординатою. Отже, щоб одержати величину згинального моменту в перерізі I при заданому положенні вантажу. Р = 1, треба виміряти ординату лінії впливу М₁ під, вантажем.

Побудуємо тепер лінію впливу згинального моменту М_ІІ, що виникає в перерізі ІІ, узятому на консолі, на відстані с від лівого кінця балки (див. рис. 5.4, а). Розглянемо два положення вантажу Р = 1.

1.Вантаж праворуч перерізу ІІ (див. рис. 5.4, а). У цьому випадку ліворуч перерізу ІІ ніяких сил нема, а тому згинальний момент М_ІІ дорівнює нулю. Відповідна частина лінії впливу зображена на рис. 5.4 ,д прямій, що збігається з віссю абсцис (на ділянці від перерізу ІІ до опори В ординати дорівнюють нулю).

2. Вантаж ліворуч перерізу ІІ (рис. 5.4, 6). У цьому випадку ліворуч від перерізу ІІ існує усього лише одна сила Р = 1, а тому згинальний момент

M_II=- 1. х₁,

де х₁ — відстань від вантажу до перерізу ІІ. Відстань х₁ може мінятися від 0 (коли вантаж Р = 1 розташований над перерізом ІІ) до с (коли він розташований на кінці консолі).

Для крайніх значень х₁ одержимо: при х₁ ==0 М_ІІ =0; при х₁ =с М_ІІ = — 1 с. Відповідна частина лінії впливу побудована на рис.5.4, д (від’ємні ординати відкладені вниз). Рис. 5.4, д в цілому представляє лінію впливу згинального моменту для переріза ІІ (при положенні вантажу в будь-якому місці балки).

Побудуємо тепер лінію впливу поперечної сили Q_II, що виникає в перерізі II.

1.Поки вантаж знаходиться праворуч перерізу ІІ, ліворуч від цього переріза ніяких сил немає і, отже, Q_II = 0. Відповідна частина лінії впливу Q_II (від переріза ІІ до правої опори) зображена на рис. 5.4, е прямою, що збігається з віссю абсцис.

 

2. Коли вантаж розташований ліворуч перерізу ІІ, поперечна сила (Q_II = —1, тобто при переміщенні вантажу на всьому протязі від лівого кінця балки до переріза ІІ поперечна сила постійна. Ця частина лінії впливу зображена на рис.5.4 ,е прямій, паралельній осі абсцис (від’ємні ординати лінії впливи відкладені вниз). Рис. 5.4 ,е в цілому являє собою лінію впливу поперечної сили для перерізу ІІ.

Як бачимо, лінії впливу М і Q для переріза, узятого в межах консолі, мають зовсім інший вид, ніж лінії впливу М і Q для перерізу, узятого між опорами.

На рис. 5.5 побудовані лінії впливу згинального моменту для декількох перерізів балок із двома консолями; переріз ІІ узятий на лівій опорі, переріз VI — на правій; на рис. 5.6 — лінії впливу поперечної сили для тих же перерізів. Біля опор узято по два перерізи: переріз II_A й VI_A розташовані нескінченно близько до опор, ліворуч від них, а переріз II_B й VI_B -теж нескінченно близько до опор, але праворуч від них. Вид ліній впливу для двох перерізів в однієї і тієї ж опори (ліворуч і праворуч від неї) різний.

Рис. 5.6