Теорема про взаємність робіт

Розглянемо два стани пружної системи, що знаходиться в рівновазі. В кожному з цих станів на систему (споруду) діє деяке статичне навантаження, наприклад в 1-м стані сила Р ₁ а в 2-м — сила Р ₂ (рис. 8.3).

Переміщення системи в результаті її деформації будемо позначати D _mn, де перший індекс вказує на напрямок переміщення, а другий — на причину, що викликала його. Знак D _mn читається таким чином: переміщення по напрямку «сили.» т, викликане «.силою» п. Переміщення D _mn може бути лінійним зміщенням або кутом повороту (в радіанах) — залежно від того, чи «сила» т є зосередженою силою або зосередженим моментом.

Рис 8.3.

Під «силою» п розуміється будь-яке навантаження, яке діє на споруду, наприклад, що складається з декількох зосереджених сил і моментів і якого завгодно розподіленого навантаження. В даному випадку (рис. 8.3):

₁₁-переміщення по напрямку сили Р ₁ від дії сили Р ₁;

_12- переміщення по напрямку сили Р ₁ від дії сили Р ₂;

₂₂- переміщення по напрямку сили Р ₂ від дії сили Р ₂;

- переміщення по напрямку сили від дії сили Р ₁.

Тоді можна визначити величини робіт сил Р ₁ і Р ₂ на відповідних переміщеннях:

- робота від дії сили Р ₁ на переміщенні ₁₁;

- робота від дії сили Р ₂ на переміщенні ₂₂.

Роботи А₁₁ та А₂₂ можна виразити через внутрішні зусилля, що виникають в поперечних перетинах стержнів системи:

;

.

Розглянемо тепер випадок статичного навантаження тієї ж системи силами P ₁ і P ₂ в наступній послідовності. Спочатку до системи прикладається статично наростаюча сила P ₁. Коли процес її статичного наростання закінчиться, деформація системи і внутрішні зусилля, що виникають в ній, будуть такі ж, як і в 1-м стані, зображеному на рис.8.4; зокрема, прогинання під силою P ₁ буде рівне А ₁₁. Робота сили P ₁ в процесі її наростання від

Рис. 8.4

нуля до кінцевого значення буде А₁₁=Р₁D₁₁/2. Потім на систему почне діяти також наростаюча сила Р₂- в результаті цього система отримає додаткові деформації і в ній виникнуть додаткові внутрішні зусилля, рівні деформаціям і зусиллям в 2-м стані, додаткове прогинання під силою P1 буде рівне D₁₂-в процесі наростання сили P₂ від нуля до її кінцевого значення сила P₁, залишаючись постійною, переміститься вниз на величину додаткового прогинання A ₁₂ і, отже, зробить додаткову роботу,

.

Тому при послідовному завантажені робота всіх сил дорівнює:

 

.

З іншої сторони, роботу А сил P ₁ і P ₂ можна визначити як півсуму добутків кожної з цих сил на відповідне їй повне переміщення від дії обох сил:

Прирівняємо два вирази і одержимо:

,

звідки

,

де - - робота сили - 1-го стану на переміщенні по її напрямку від дії сили другого стану;

- робота сили 2-го стану на переміщенні по її напрямку від дії сили першого стану.

Значить,

.

Таким чином, робота сил 1-го стану на переміщеннях по їх напрямках, викликаних силами 2-го стану, дорівнює роботі сил 2-го стану на переміщеннях по їх напрямках, викликаних силами 1-го стану - теореми про взаємність робіт, або теореми Бетті.

На основі цієї теореми можна визначити роботу через внутрішні зусилля, які виникають в першому та другому стані і при цьому отримуємо:

 

. 8.3. Теорема про взаємність переміщень

Розглянемо наступні два стани системи. В першому стані до системи прикладена одна сила P₁ = 1, а в другому — одна сила Р₂ = 1 Ці стани системи умовимося називати одиничними. Будемо позначати переміщення, викликані одиничними силами або моментами (тобто силами Р == 1 або моментами М = 1), знаком δ — на відміну від переміщень, викликаних силами і моментами, не рівними одиниці, що позначаються знаком D. Відповідно до цього переміщення даної системи по напряму одиничної сили Р ₂ в 1-м стані (тобто викликане силою P ₁ = 1, позначимо δ ₁₂ переміщення по напрямку одиничної сили P ₁ в 2-м стані позначимо δ ₂₁ де δ ₁₂ і δ ₂₁—одиничні переміщення.

 

Рис. 8.5

На підставі теореми про взаємність робіт для розглядуваних двох станів маємо:

P₁δ₁₂ = P₂δ₂₁

але так,як

P₁ = P₂=1

то

δ₁₂ = δ_21..

Або в загальному випадку дії будь-яких одиничних сил:

δ_mn = δ_nm.

Отримана рівність носить назву теореми про взаємність переміщень (принципу Максвелла): для двох одиничних станів пружної системи переміщення по напряму першої одиничної сили, викликане другою одиничною силою, дорівнює переміщенню по напряму другої сили, викликаному першою силою.

Формула переміщень

Розглянемо наступні два стани системи. В першому стані на систему діє довільне число будь яких сил та моментів, а в другому — одна лиш зосереджена сила Р₂ = 1.

Рис. 8.6

Складем вираз роботи А₂₁сили 2-го стану на переміщення , яке виникає від сил 1-го стану:

,

або через внутрішнє зусилля в стержнях системи:

.

При незмінних по довжині розмірах поперечних перерізів формула прийме вигляд:

.

Остання рівність носить назву формули переміщень (інтеграла Мора).

Визначення переміщень за допомогою отриманої формули проводиться в наступному порядку:

1) знаходяться вирази зусиль M_n N_n, Q_n від заданого навантаження як функції координати х довільного перерізу;

2) по напряму шуканого переміщення прикладається відповідна йому одинична «сила» (при лінійному переміщенні — зосереджена сила, при куті повороту — зосереджений момент);

3) визначаються зусилля M_m N_m, Q_m від одиничної сили як функції координати х довільного перерізу; _ _ __

4) знайдені вирази зусиль M_n N_n, Q_n M_m N_m, Q_m, підставляються в праву частину формули переміщень і інтегруванням по ділянках в межах всієї споруди визначається шукане переміщення D_mn-. Якщо D_mn додатнє - то переміщення співпадає з напрямком одиничної сили, якщо від”ємне - то протилежне цьому напрямку.

При розрахунку балок та рам вплив поздовжніх та поперечних сил на переміщення не враховується, крім окремо вказаних випадків.