Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим

 

Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, содержащие тригонометрические функции от неизвестной величины. Каждое значение, при подстановке которого вместо неизвестной величины получается верное равенство, называется решением или корнем тригонометрического уравнения.

Решить тригонометрическое уравнение значит найти все его корни или доказать, что уравнение корней не имеет.

Пример 4.1. Решить уравнение

. (а)

Решение. Заменим на и :

.

Подставим полученное выражение в уравнение (а) и преобразуем его, получим

.

Полученное уравнение сводится к решению двух уравнений:

Первое уравнение:

.

Второе уравнение, рис. 4.10:

Имеем:

, тогда

.

Откуда .

 

Итак, уравнение (а) имеет два корня

Пример 4.2. Решить уравнение

. (б)

Решение. Заменим на :

.

Подставим полученное выражение в уравнение (б) и преобразуем его, получим

.

Полученное уравнение содержит только функцию . Введем обозначения: , тогда заданное уравнение сведется к квадратичному уравнению:

Таким образом, равенство возможно лишь тогда, когда или .

Первое уравнение:

.

Второе уравнение (см. рис. 4.11):

Итак, уравнение (б) имеет три корня

Пример 4.3. Решить уравнение

. (в)

Решение. Заменим на и :

.

Подставим полученное выражение в уравнение (в), получим

.

Отсюда

.

Разделим полученное уравнение на , получим

. (г)

Полученное уравнение содержит только функцию .

Пусть , тогда уравнение (г) будет иметь вид

Решим полученные простейшие тригонометрические уравнения (рис. 4.12).

1.

2.

Справка: .

Пример 4.4. Решить уравнение:

.

Решение. Имеем

По общим формулам запишем ответ (числовые значения приведены в таблице 4.11):

Итак, получили

Таблица 4.11

x	sin x	cos x	tg x
0,25	0,2474	0,9689	0,2553
0,26

 

Пример 4.5. Решить уравнение

. (а)

Решение. Пусть , тогда уравнение (а) будет иметь вид

Вычислим корни полученного уравнения

Уравнение (а) имеет единственное решение .

Имеем:

Пример 4.6. Решить уравнение

.

Решение. Пусть , тогда уравнение (а) будет иметь вид

, .

Разложим левую часть на множители, получим

,

откуда

Имеем

1.

2.

Пример 4.2. Решить уравнение

. (а)

Решение. Выразим косинус через синус

, тогда уравнение (а) примет вид

.

Введем обозначения: получим

Освободив уравнение от радикалов, получим

Имеем

Первое уравнение:

удовлетворяет уравнению (а) при , следовательно, для решения следует взять знак перед радикалом.

.

Замечание. Из общей формулы следует исключить нечетные значения, дающие для косинуса значение .

Второе уравнение:

.

Итак, заданное уравнение (а) имеет два корня

Приложение тригонометрических функций

В физике, механике, технике, химии, биологии и др. науках изучаются периодические движения, или колебания. Колебания – такие изменения состояния исследуемой системы или объекта наблюдения, которые характеризуются определенной степенью повторяемости во времени, возвращаемости к начальному состоянию. Периодом колебаний называется промежуток времени, в течение которого совершается одно полное движение. Следовательно, для описания периодических процессов следует вводить функции, зависящие от времени, т. е. параметра (время).

Пусть периодические движения проходят вдоль одного выделенного направления, например, вдоль оси декартовой системы координат, следовательно, координата должна зависеть от , т. е. задается функция . Если периодические движения проходит в плоскости декартовой системы координат, тогда задаются две функции: и .

Рассмотрим примеры их механики.

Определение траектории движения точки. Геометрическое место последовательных положений при движении точки в интервале времени в выбранной системе координат евклидового пространства называется траекторией движущейся точки. Если в интервале времени траектория прямая линия, то движение в этом интервале называется прямолинейным, в противном случае – движение называется криволинейным.

В частности, движение точки на интервале времени называют круговым, если на этом интервале точка движется по окружности.

Пример 5. 1. Точка движется по оси . Уравнение движения точки задано уравнением

. (а)

1. Определить траекторию движения точки.

2. Провести анализ движения точки по заданной траектории.

3. Вычислить среднюю скорость точки в промежутке времени

Решение.

I. Определим траекторию движения точки.

Дляэтого в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений заданной функции .

Введем обозначение: , тогда уравнение (а) будет иметь вид

.

Функции ограничена, т.е. , следовательно

.

Итак, функция определена в пределах (рис. 5.1, а)

.

Построим график заданной функции в системе координат , здесь – абсолютное время, причем , рис.5.1,а. Графиком этой функции является синусоида, . При функция возрастает до , далее при функция убывает до , при функция возрастает до . Период функции .

Точка движется в евклидовом пространстве . Графиком заданной функции является отрезок , который и является траекторией движения точки (рис. 5.1, б).

 

Рис. 5.1

II. Проведем анализ движения точки по заданной траектории в евклидовом пространстве :

 

1. При точка начинает движение вправо из положения
.

2. При точка из положения движется вправо, проходит до точки и останавливается.

3. При начинает движение влево, проходя положение , и останавливается в точке .

4. При точка движется вправо и т. д. Движение повторяется до бесконечности.

 

За точка возвращается в исходное положение, следовательно, период движения Нетрудно видеть (рис. 5.1, а), что при где точка будет находиться в положении , при точка будет занимать положение , при – .

Итак, траекторией движения точки является отрезок , на котором она совершает периодическое движение с периодом

3. Вычислим среднюю скорость точки в промежутке времени

Вычислим среднюю скорость точки . Составим таблицу 5.1 значений и построим график зависимости координаты от времени по точкам (рис. 5.2).

Таблица 5.1

Рис. 5.2

, сек.   0^о   0,5   1,04   30^о   1,5 45^о 2,83   60^о 3,46 2,5 75^о 3,86   90^о

Вычислим среднюю скорость точки в промежутке времени

.

Пример 5.2. Положение кривошипа ОА в кривошипно-ползунном механизме (рис. 4.3) определяется углом (рад). Определить траекторию движения точек и и вычислить среднюю скорость точки в промежутке времени , если м.

Решение. Декартовую систему координат совместим с точкой О кривошипа 0А (рис. 5.3).Движение каждой точки данного механизма можно задать координатным способом относительно выбранной системы отсчета, т.е. задать координаты и каждой точки.

I. Определим траекторию точки А. Положение точки А определяется координатами :

(а)

Дляпостроения траектории в декартовой системе координат евклидового пространства определим область значений и . Функции и ограничены, тогда область значений и определяется неравенствами:

(б)

Тем самым определили область, в которой точка движется (рис. 5.4).

Получим аналитическую функцию, которая является траекторией точки. Для этого исключим параметр t из уравнений движения (a). Для этого возводим в квадрат каждое уравнение (а) и сложим их между собой.

Имеем:

Учитывая, что , получим:

.

Итак, точка движется по окружности радиуса м.

Справка. Каноническое уравнение окружности радиусом имеет вид .

 

Построим графики функций и в системах координат и , соответственно (рис. 5.5). Здесь – абсолютное время, причем . Вычислим положение точки А при сек. Имеем

Рис. 5.5

Опишем движение точки А:

1. При точка при имеет координаты .

2. При функция убывает, а функция возрастает, следовательно, точка от положения начинает движение по окружности против часовой стрелки (рис. 5.4). Период движения

Вычислим среднюю скорость точки в период .

Вычислим числовые значения (рис. 5.6):

.

 

Рис. 5.6

Тогда:

,

,

.

II. Определим траекторию точки B. Уравнение движения точки В в системе координат определено координатой (рис. 5.7, а):

.

Дляпостроения траектории в декартовой системе координат определим область значений . Функция ограничена, тогда область значений определяется неравенством (рис. 5.7, а):

(б)

Траекторией движения точки является отрезок , рис. 5.7, а.

 

Рис. 5.7

 

Проведем анализ движения точки по заданной траектории в евклидовом пространстве . Точка В при имеет координаты , рис. 5.7, б. Далее точка движется влево и за проходит положение и достигает положение , далее возвращается в положение . Положение точки в различные моменты времени показаны в таблице 5.2.

Таблица 5.2

, сек
			-1
, сек
			-1

 

Движение повторяется до бесконечности. От начала движения до возвращения в исходное положение проходит сек, следовательно, период движения , что составляет сек.

Нетрудно видеть (рис. 5.6, б), что:

– при точка занимает положение ;

– при где точка занимает положение ;

– при где точка занимает положение ;

Итак, траекторией движения точки является отрезок , на котором она совершает периодической движение с периодом

Пример 5.3. Движение точки M по плоскости Оху задано уравнениями движения

(а)

 

Построить траекторию движущейся точки, вычислить среднюю скорость движения точки по оси и оси в промежутке времени .

Решение. Движение точки задано параметрическими уравнениями, параметром является время .

Построим графики заданных функций в системах координат и , соответственно, здесь – абсолютное время, причем, всегда .

Графиком функции является синусоида с периодом
сек и , рис. 5.8, а.

Рис. 5.8

Проведем анализ движения точки по оси :

– при функция возрастает до ;

– при функция убывает от до ;

– при функция возрастает от до , то есть возвращается в исходное положение.

Далее движение точки повторяется до бесконечности.

Графиком функции является косинусоида с периодом
сек и (рис. 5.8, б).

Проведем анализ движения точки по оси :

– при функция убывает от до ;

– при функция возрастает опять до .

Точка движется в евклидовом пространстве . Дляпостроения траектории движущейся точки в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений и .

Функции и - ограничены, т.е.

, ,

получаем (рис. 5.9):

Выделяем на плоскости область, ограниченную полученными неравенствами.

Тем самым мы определили область, в которой точка движется. Получим аналитическую функцию , которая является траекторией точки в евклидовом пространстве . Для этого исключим из параметрических уравнений параметр t:

(а’)

Для этого делим первое уравнение системы (а’) на 2, второе – на 4. Далее, возводим полученные выражения в квадрат и складываем их между собой:

Учитывая, что , получим:

. (б)

Получили каноническое уравнение эллипса. Итак, траекторией движущейся точки является эллипс (рис. 5.9). Подставляя в (а) значение , находим положение точки при :

; см.

Точка в начальный момент времени занимает положение . Определим направление движения точки. Уравнения движения (а) заданы возрастающей функцией и убывающей функцией , поэтому при увеличении t координата «х» возрастает, а «у» убывает, следовательно, точка движется по эллипсу по часовой стрелке с периодом .

Справка. Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где а – полуось эллипса на оси , – полуось эллипса на оси .

Пример 5.4. Движение точки в плоскости задано координатным способом уравнения , :

	(а)
(б)

где и выражены в см, - в сек.

Требуется задать движение точки в явном виде; вычислить скорость, нормальную и касательную составляющие ускорения, радиус кривизны траектории в соответствующей точке для момента времени сек.

Решение. Дляпостроения траектории в декартовой системе координат определим область значений и . Функции и - ограничены, тогда область значений и определяется неравенствами:

(в)

Получим зависимость . Для этого из (а) и (б) исключим параметр . Введём обозначение , тогда уравнения (а) и (б) перепишутся в виде:

Распишем первое уравнение полученной системы, используя формулу двойного угла (), и приведем подобные члены:

Заменим , получим

.

Итак, координаты и декартовой системы координат связаны между собой зависимостью . Эта зависимость определяет траекторию движения точки в евклидовом пространстве, ограниченной системой неравенств (в). Итак, получили, что точка движется по параболе:

 

, где

Построим график полученной функции. Вершина параболы находится в точке , ветви параболы вытянуты вдоль оси и направлены вниз (рис. 5.10).

При функция убывает, следовательно, точка из положения начинает движение по правой ветви параболы до точки , далее точка движется обратно по верхней ветви параболы и через точку с координатами движется по нижней ветви параболы до точки и т.д.

В целом точка М совершает колебательные движения по параболе в ограниченной пунктиром области. Направление движения в первые 2 сек указано стрелкой на рис. 5.10.

Пример 5.5. Точка движется в плоскости . Уравнение движения точки задано координатным способом:

(а)

 

где и выражены в см, - в сек.

Требуетсяпостроить траекторию движения точки в декартовой системе координат.

Решение. Построим траекторию движения точки.Дляэтого в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений и . Функции и - ограничены, т.е. , , получаем из (а), рис. 5.11:

 

Получим уравнение траектории в системе координат евклидового пространства, т. е. зависимость . Для этого из уравнений (а) исключим параметр . Введём обозначение , тогда уравнения (а) перепишутся в виде

(б)

 

Распишем первое уравнение системы (б), используя формулу двойного угла (),

 

Получим:

 

Уравнение траектории в системе координат евклидового пространства имеет вид

 

, где . (с)

 

Траекторией точки является парабола, вершина которой имеем координаты ; ветви параболы вытянуты вдоль оси (рис. 5.11).

Проведем анализдвижения точки по траектории. Вычислим положение точки на траектории в начальный момент времени (при ):

 

 

Положения точки в разные моменты времени приведены в таблице 5.3.

Таблица 5.3