Основные теоремы тригонометрии

Теорема синусов

В плоском треугольнике со сторонами и углом , противолежащим стороне (рис. 2.1), квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними, т. е. справедливо равенство

.

Доказательство. Рассмотрим . Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD. Треугольник ADC является прямоугольным, поэтому величину стороны AD можно вычислить из соотношения тригонометрических функций:

. (а)

Длину стороны BD вычислим как разность AB и AD:

 

. (б)

Вычислим по теореме Пифагора высоту .

Имеем

Откуда

.

Подставим в последнее выражение вычисленные значения (а) и (б), получим

.

Раскроим скобки
,

и приведем подобные члены, получим

. (1)

Теорема доказана.

 

Пример 2.1. В треугольнике вычислить величину стороны , если , , угол между сторонами равен (рис. 2.2).

Решение. По теореме косинусов

Здесь по теореме приведения

.

Полезно эту задачу решить геометрически, т.е. построить заданный треугольник в масштабе и измерить сторону . Полученные результаты сравнить.

Пример 2.2. Вычислить площадь треугольника со сторонами ; ; (рис. 2.3).

Решение. Опустим из вершины на основание высоту . Площадь треугольника будет равна

.

По теореме косинусов

или

.

Отсюда имеем:

;

; .

.

Теорема синусов

Рассмотрим , описанный вокруг треугольника окружности радиуса ; a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ – величины противолежащих этим сторонам углов (рис. 2.4).

Теорема. Стороны треугольника ABC пропорциональны синусам противолежащих углов:

,
где R – радиус описанной вокруг треугольника окружности; a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ – величины противолежащих этим сторонам углов.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник, вписанный в окружность, обозначим его как ABC (рис. 2.4). Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R, например, .

Проведем диаметр BD для описанной окружности (рис. 2.5). Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность). Рассмотрим случай, когда точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC. Изгеометрии известно, что углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Тогда угол равен углу .

Из .

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

.
Теорема доказана.

Если точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC (рис. 2.5), то угол CDB равен углу . Поскольку , то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату.

Теорема сложения для косинуса. При произвольных значениях и имеют место теоремы сложения:

;

.

Доказательство. Пусть точки и – точки единичной окружности (рис. 2.6). Запишем координаты точек и :

Вычислим квадрат расстояния между точками и

(1)

Рассмотрим разность дуг и – это È , измеряющаяся числом . Отложим È от начальной точки . Пусть – конец отложенной, т.е. дуги È =È . Хорды и , соединяющие концы равных дуг È и È , равны между собой, т. е. = .

Запишем координаты точки :

Вычислим квадрат расстояния между точками и :

(2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2) между собой, получим

 

,

откуда

. (3)

Заменив на в формуле (3), получим

. (4)

Теорема доказана.

Следствие 1. Подставляя в (4) , получим формулу косинуса двойного угла:

.

Эта формула позволяет

1. Заменить выражение тождественно равным ему выражением , зависящим от и .

2. Разложить на два множителя по примеру формулы сокращенного умножения :

3. Заменить выражение равным ему выражением .

Следствие 1. Используя основное тригонометрическое тождество

Получим другие варианты формулы двойного угла

 

Пример 2.3. Вычислить .

Решение. Представим угол в виде разности . Тогда

Пример 2.4. Чему равно значение ?

Решение. Воспользуемся формулой (3), получим

Формулы приведения

Теорема сложения для синуса. При произвольных значениях и имеют место теоремы сложения:

.

Доказательство. Синус угла равен косинусу аргумента , т.е. , рис. 2.7. Этот аргумент можно представить следующим образом

Тогда

(5)

Заменив на в формуле (5), получим

Следствие. Если углы , получим из (5)

.

Пример 2.5. Вычислить , , , .

Решение.

Пример 2.6^*. Вычислить

Решение. Имеем:

Получили, что

Пример 2.7^*. Вычислить

Решение. Имеем:

Получили, что

Функции суммы и разности углов сведем в одну таблицу 2.1

Таблица 2.1

Рассмотрим формулы:

;

1. При . Тогда:

;

.

2. При . Тогда:

;

.

3. При . Тогда:

4. При . Тогда:

;

.

Значимые формулы приведения можно свести в одну таблицу 2.2.

Таблица 2.2

; ; .

 

Рассмотрим формулы:

;

1. При . Тогда:

;

.

2. При . Тогда:

;

.

3. При . Тогда:

;

.

4. При . Тогда:

.

Значимые формулы приведения можно свести в одну таблицу 2.3.

Таблица 2.3

; ; .

Эмпирические правила. Формул приведения много. Любую формулу приведения можно получить, зная значения тригонометрических функций в первой четверти, т. е. для углов (значения тригонометрических функций в смысле главного значения) и зная знак тригонометрической функции в различных четвертях (квадрантах), рис. 2.8. Анализируя вывод формул приведения, приведенных в таблицах 2.1–2.2, можно сформулировать общие два эмпирических правила, которыми следует пользоваться для использования этих формул без их запоминания.

Рис. 2.8

Правило 1. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной четверти (квадранте), рис. 2.8.

Правило 2. Для углов () или (), образованных откладыванием угла от оси абсцисс (оси ), формула приведения название функции не измененяет. Для углов () или (), образованных откладыванием угла от оси ординат (оси ), формула приведения название функции измененяет: синус переходит в косинус (), косинус переходит в синус (), тангенс переходит в котангенс (), котангенс переходит в тангенс ().

Правила приведения позволяют безошибочно и легко воспроизводить нужную формулу приведения. Все формулы приведения можно свести в одну таблицу 2.4. В практике удобно пользоваться два приведенных эмпирических правила, для этого их следует запомнить.

Таблица 2.4

Функция

Пример 2.8. Вычислить , , , , .

Решение.

1.Угол находится во второй четверти
(рис. 2.9); из рисунка видно, что знак sin в этой четверти «+», значит у приведенной функции тоже будет знак «+».

Представим как сумму , имеем дело со случаем , следовательно, меняем функцию с синуса на косинус.

Имеем:

2. Угол находится в третьей четверти
(рис. 2.10), из рисунка видно, что знак sin в этой четверти равен «–», значит у приведенной функции тоже будет знак «–».

Представим как сумму , имеем дело со случаем , следовательно, функция не меняется.

Имеем:

3. Угол находится в четвертой четверти (рис. 2.11), из рисунка видно, что знак в этой четверти равен «+», значит у приведенной функции тоже будет знак «+».

Представим как сумму , имеем дело со случаем , следовательно, меняем функцию с косинуса на синус.

Имеем:

4. Представим угол , тогда (рис. 2.12):

Угол находится во второй четверти; из рисунка видно, что знак в этой четверти «–», значит у приведенной функции тоже будет знак «–».

Представим как сумму , имеем дело со случаем , следовательно, меняем функцию с косинуса на синус.

Имеем:

5. Представим как сумму (рис. 2.13).

Тогда

Пример 2.9. Вычислить , .

Решение. 1. Угол находится во второй четверти (рис. 2.14); из рисунка видно, что знак в этой четверти «–», значит у приведенной функции тоже будет знак «–».

Представим как сумму , следовательно, меняем функцию с на .

Имеем:

2. Угол находится в третьей четверти
(рис. 2.15), из рисунка видно, что знак в этой четверти равен «+», значит у приведенной функции тоже будет знак «+».

Представим как сумму , следовательно, функция не меняется.

Имеем: