Прикладные аспекты основных теорем тригонометрии

Основные задачи на решение треугольников. Рассмотрим произвольный , со сторонами и противолежащими углами (рис. 2.16). Основные задачи на решение треугольников состоят в вычислении по некоторым известным элементам треугольника остальных элементов треугольника. Рассмотрим основные задачи.

Задача 1. Даны три стороны треугольника (рис. 2.16). Требуется вычислить противолежащие углы.

Противолежащие углы можно вычислить, применяя теорему косинусов:

 

Аналогично вычисляются косинус угла и .

Пример 2.10. Задано: Вычислить .

Решение. Применим теорему косинусов для квадрата стороны, лежащей против угла , и подставим известные значения (рис. 2.16):

Тогда

Задача 2. Заданы в треугольнике две стороны и угол между ними , рис. 2.17. Вычислить стороны и углы , .

Сторону можно найти по теореме косинусов:

Далее, косинус угла находится, как в задаче 1:

Угол вычисляется просто:

.

Пример 2.11. Задано: . Вычислить .

Решение. По теореме косинусов имеем:

.

Далее

Вычислим

Итак,

 

 

Задача 3. Заданы:сторона и три угла и в треугольнике , рис. 2.17’. Вычислить стороны . Для решения поставленной задачи используем теорему синусов:

Пример 2.12. Вычислить стороны треугольника , если ; ; ; (рис.2.17’).

Решение. По теореме синусов имеем

Задача 4. Заданы:сторона и два угла и в треугольнике (рис. 2.17). Вычислить стороны .

Первый шаг – вычисляем угол :

.

Тогда

,

 

 

Используя теорему синусов, получим:

Если , то задача имеет единственное решение.

Пример 2.13. Дано: ; ; . Найти сторону .

Решение. Вычислим угол :

.

Имеем:

.

Используя теорему синусов, получим:

Задача . Заданы две стороны и угол, лежащий против одной их них, например, сторона и и угол , рис. 2.18, а.

Из теоремы синусов запишем равенство

.

Выражение может принимать различные значения.

I. Если , то задача не имеет решения.

II. Если , тогда , а это значит, что . Следовательно, возможен только прямоугольный треугольник, рис. 2.18, б. Тогда сторона вычисляется по теореме Пифагора

.

III. Если , тогда . В этом случае угол может быть острым или тупым. При можно вычислить угол :

.

Далее вычислить , а затем из теоремы синусов вычислить :

.

При задача иметь решения не будет.

Пример 2.14. Задано:
(рис. 2.19, а). Вычислить .

Решение. Из теоремы синусов запишем равенство

Откуда

Вычислим угол :

.

Сторону вычислим по теореме Пифагора, рис. 2.19, б:

.

Пример 2.15. Задано: , , рис. 2.20. Вычислить .

Решение. Из теоремы синусов запишем равенство

 

Задача решения не имеет.

Смешанные задачи

Пример 2.16. Показать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Решение. Пусть ABCD – параллелограмм, рис. 2.21. Обозначим стороны , , а угол при вершине обозначим , тогда угол при вершине будет равен .

Применим теорему косинусов к треугольникам и , получим

(1) Отметим, что . Тогда (1) примет вид

Сложим эти равенства между собой

Пример 2.17. Вычислить длину хорды , если задан угол и радиус окружности , (рис. 2.22).

Решение. Рассмотрим треугольник с углом при вершине . По теореме об измерении угла, вписанного в окружность, центральный угол , опирающийся на дугу окружности, в два раза больше угла , то есть .

Для треугольника по теореме косинусов получаем:

. (а)

Преобразуем выражение, стоящее в скобках:

.

Подставим полученное выражение в (а), получим

.

Итак,

.

Как следствие рассмотренной задачи, получим теорему синусов. Рассмотрим вписанный треугольник со сторонами и углами
(рис. 2.23).

Из предыдущих расчетов получаем:

,

,

.

В результате получаем теорему синусов:

во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противоположных углов .

Итак

.

Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство. Пусть – биссектриса треугольника со сторонами (рис. 2.24). Применим теорему синусов для треугольника :

. (а)

Затем применим теорему синусов для треугольника :

.

Так как , то

. (в)

Разделим правые и левые части выражений (а) и (б) между собой, получим

.

Итак, получили, что , что и требовалось доказать.

Пример 2.18. В равнобедренный треугольник, основание которого равно , вписана окружность, радиус которой равен . Вычислить боковые стороны треугольника.

Решение. Пусть – центр вписанной окружности. Тогда точка лежит на высоте треугольника и на биссектрисе ,
рис. 2.25. Пусть , тогда .

Из прямоугольного получим:

Если , имеем:

Из имеем:

Пример 2.19. Вычислить радиус вписанной окружности в со сторонами

Решение. Пусть – центр вписанной окружности, рис. 2.26. Тогда равны радиусу вписанной окружности, проведенные в точки ее касания со сторонами треугольника.

Из условия , получим:

Пусть , тогда по теореме косинусов имеем:

 

Справка.

 

.

Из имеем

Основные тригонометрические определения, теоремы и формулы,

которые следует запомнить.