Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.

Теорема. Если квадратичная форма приведена двумя различными способами (в двух различных базисах) к сумме квадратов, то число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в обоих случая одно и то же.

Доказательство. Пусть в базисе квадратичная форма имеет вид: (1), где - координаты вектора х, т.е. . Пусть в базисе эта квадратичная форма имеет вид: (2), где - координаты вектора х в базисе . Нужно доказать, что . Докажем это от противного. Предположим, что . Рассмотрим подпространство , . Т.к. , то существует ненулевой вектор х, принадлежащий пересечению: . Тогда . В базисе е вектор х имеет координаты , а в базисе f - . Подставляя эти представления в формулы (1, 2), мы получаем с одной стороны, что (т.к. не все числа равны нулю). Если подставить в формулу (2), то имеем, что (Т.к. хотя среди чисел есть отличные от нуля, возможно, что ). Противоречие, следовательно, неравенство неверно. Аналогично доказывается, что невозможны неравенства .

Определение. Число r, отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.

Чтобы найти ранг квадратичной формы нужно вычислить ранг ее матрицы в какой-либо одной системе координат.

Определение. Назовем число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы соответственно положительными и отрицательными индексами инерции: .

Определение. Если , то квадратичная форма называется невырожденной. Разность между положительными и отрицательными индексами инерции называется сигнатурой.

6. Определение и примеры линейных операторов. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов.

Определение. Пусть Х и У – линейные пространства, заданные на одним и тем же полем F. Правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , называется оператором или преобразованием. Результат применения оператора обозначают .

Определение. Запись значит, что оператор А действует из Х в У или отображает Х в У. При этом Х называется областью определения оператора А, у – образом элемента х, а х – прообраз у.

Определение. Образ оператора А или область его значений это совокупность всех элементов таких, что : .

Определение. Оператор А с областью определения Х и областью значений У называется линейным оператором, если он линейной комбинацией прообразов ставит в соответствие линейную комбинацию образов. .

Определение. Если , то линейный оператор называется оператором в Х.

Определение. Операторы А и В называются равными (А=В) тогда и только тогда, когда .

Определение. Суммой операторов А и В называется оператор С=А+В, если (1).

Если .

Эта операция коммутативна и ассоциативна:

1) ;

2) .

В существует нулевой элемент, который каждому ставит в соответствие . Рассмотрим:

3) ;

4)

Введем операцию умножения оператора на число: (2). Покажем, что оператор С линейный.

Определение. Рассмотрим пространства Х, У и Z, заданные над одним и тем же полем F. Пусть называется произведением оператора В на А: . Если (3). Произведение линейных операторов также является линейным оператором:

.

Свойства:

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

7. Ядро и образ линейного оператора. Связь между дефектом, рангом и размерностью области определения линейного оператора. Обратный оператор. Невырожденный оператор.

Def: Оператор I Î W_XX называется тождественным (единичным) Оператором, если Ix=x; хÎХ.

Def: Оператор B Î W_XX называется обратным к А, если AB=BA=I (B=A^-1). Любой линейный оператор переводит θ->θ.

Def: R(A) ={y|y=Ax,xÎX}– образ А - подмножество Y, замкнутое относительно операций -> подпространство.

Def: Ранг оператора rgA = dimR(A)

Def: Множество всех х, для которых Ах=θ называется ядром оператора А. N(A)={x|xÎХ, Ax=θ}. Ядро есть подпространство в Х.

Def: Размерность ядра называется дефектом n_A=dimN(A).

Рассмотрим соотношение между rgA и n_A линейного оператора. Пусть А:X->Y. Разложим линейное пространство Х в прямую сумму N(A) + M_A, где M­_A-любое дополнительное подпространство. Значит для  х Î Х справедливо единственное представление вида: x=x_n+x_m. x_n­ из ядра, x_m из доп. подпространства. Тогда y = Ax=A(x_n+x_m)=Ax­_n+Ax_m=Ax_m. То есть любой вектор из R(A) имеет хотя бы один прообраз из M_A. На самом деле он единственен. (Доказательство от противного (наличия у двух прообразов).

Таким образом мы установили взаимоднозначное соответствие между M_A и R(A). Можно доказать, что оно является изоморфизмом.

dimX=dimN(A)+dimM_A=n_A-rgA

Def: Линейный оператор А:Х->X называется невырожденным, если его ядро состоит только из θ, в противном случае – оператор вырожденный.

8. Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между координатами вектора – образа и вектора – прообраза. Изоморфизм пространства линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера.

Определение.

Пусть дан линейный оператор А:Х->Y, dimX=n. И некоторым базисом Х является e₁,...,e_n. dimY=m; g₁,...,g_m – базис Y. x=α₁e₁+...+α_ne_n. Ax= α₁Ae₁+...+α_nAe_n. Другими словами, лиейный оператор полностью определяется совокупностью образов Ae_i базисных векторов е. y Î L(Ae₁,...,Ae_n). Ae_j – вектор, содержащийся в Y и значит его можно разложить по базису Y. (*) Ae_j=a_1jg₁+...+a_njg_n. Коэффициенты a_ij определяют некоторую матрицу, в которой n строчек и n столбцов. Эту матрицу назовем матрицей А в базисах e₁,...,e_n g₁,...,g_n. Столбцами матрицы оператора служат координаты векторов Ае­₁,...,Ае_n в базисе g. Для того, чтобы определить элемент a_ij нужно найти образ Ae_j­­ и взять его i-ую координату.