Вычисление функции от матрицы.

Определение. Пусть даны квадратичная матрица А размерностью и функция скалярного аргумента . Распространим на матричное значение аргумента. Если , то функция от матрицы приобретает вид .

Теорема Гамильтона. Пусть - минимальный многочлен. Разложим его на множители (1), где - все различные собственные значения матрицы А. Степень же чисел (2) будем называть значениями функции на спектре матрицы А. Очевидно, чтобы значения функции на спектре матрицы А полностью определяют , т.е. все функции , имеющие одни и те же значения на спектре матрицы А имели одно и то же матричное значение . Т.о. для определения в общем случае достаточно найти многочлен , который принимал бы те же значения на спектре матрицы А, что и , и положить, что .

Определение. Если функция определена на спектре матрицы А, то , где - любой многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и , т.е. .Среди всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре, что и , существует единственный многочлен , степень которого меньше m. Этот многочлен однозначно определяется интерполирующими условиями:

(3) – интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Определение. Пусть функция , определена на спектре матрицы А, а - соответствующий интерполяционный многочлен. Тогда .

Замечание. Получили, что если матрицы А не имеет кратных корней (матрица простой структуры) и в равенстве (1) , то для того, чтобы имело смысл достаточно, чтобы была определена в точках , если же все имеют кратные корни, то в некоторых точках соотношения (2) должны быть определены и производные до известного порядка.

Свойства функций от матриц:

1) Если - собственные числа матрицы А n-ого порядка, то - собственные числа матрицы .

2) Если матрицы А и В подобны, т.е. , то матрицы и также подобны, причем .
Доказательство. Пусть . Покажем, что , используя метод математической индукции. Для k=1, это очевидно. Пусть это верно и для k=m. Докажем, что это верно и для k=m+1. Действительно, . Тогда . .
Т.о. две подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены и аналогично принимает одни и те же значение как на спектре матрицы А так и на спектре матрицы В. Поэтому существует интерполяционный многочлен .

3) Пусть А – квазидиагональная матрица , тогда .
Доказательство. Обозначим через интерполяционный многочлен функции на спектре матрицы А.
(5) . Минимальный многочлен является аннулирующим многочленом для матрицы , поэтому из равенства . Поэтому и .

Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Пусть - минимальный многочлен матрицы А, . - степень . Представим является правильной дробью в виде суммы дробей: (6), где - некоторые числа. Для определения числителя простой дроби умножим обе части (6) на (7), где - рациональная функция, не обращающаяся в бесконечность при . Обозначим через . (8)

Формулы (8) показывают, что числители в правой части (6) выражаются через значения многочлена на спектре матрицы А, а эти значения нам известны. А именно, они равны соответственным значения функции и ее производной: (9’). После того, как все найдены, мы определим по следующей формуле, которая получается умножением обеих частей равенства (6) на : (10). Заметим, что в соотношении (10) выражение в квадратных скобках в силу (9’) равно сумме первых членов разложения Тейлора по степеням для .

Основная формула. Вернемся к (10). Подставив в нее (9’) для коэффициентов и объединив члены, содержащие одно и тоже значение и какой-либо ее производной, представим в виде (11), где - полином степени меньшей степени . Эти полиномы определяются заданием и не зависит от выбора функции . Число этих полиномов равно числу значений на спектре матрицы А и равно m, где m – степень минимального многочлена. Из формулы (10) следует основная формула для нахождения функции от матрицы, а именно: (12), матрицы являются компонентами матрицы А. Они вполне определяются заданием матрицы А и не зависят от выбора функции . В правой части формулы (12), функция представлена только своими значениями на спектре матрицы А.