Теорема. Критерий эквивалентности двух матриц.

Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными ó чтобы они имели один и тот же ранг.

Доказательство: -> Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга любой из них. При умножении какой-либо матрицы на невырожденную матрицу ранг ее не меняется, поэтому эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Можно показать и обратное, что матрицы одинаковых рангов эквивалентны между собой. Мы докажем, что всякая матрица ранга r эквивалентна I_r(единичной матрице размерности r). Пусть дана прямоугольная матрица размера nxm. Она определяет некоторый линейный оператор А, отображающий пространство Х с базисом е в пространство Y с базисом g. Обозначим через r число линейно независимых векторов среди образов векторов базиса Ae₁,...,Ae_n. Не нарушая общности можно считать, что линейно независимыми являются векторы Ae₁,...,Ae_r. Остальные векторы выражаются через них. Определим новый базис следующим образом: . Тогда, если мы возьмем и рассмотрим образ i-го базисного вектора f, то Afi=θ для  i=r+1,n. Векторы h1...hr – линейно независимы, а это векторы из Y. Дополним их некоторыми векторами h_r+1,...,h­­_m До базиса в линейном пространстве Y. И рассмотрим матрицу оператора А в новых базисах f₁...f_n и h₁...h_m. Коэффициенты i-го столбца этой матрицы совпадает с коэффициентами вектора Af_i в базисе h. Согласно соотношениям матрица А будет совпадать с матрицей I_r. Т.к. А и Ir соответствуют одному и тому же оператору, то они эквивалентны.

Def: А называется подобной матрице B если существует такая невырожденная матрица P, что A=P^-1BP. 1) Если А подобна В, то В подобна А. 2)Если А подобна В, а В подобна С, то А подобна С. Поскольку признак подобия удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности, он является отношением эквивалентности.

10. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Доказать, что в комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Def: Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным, относительно А, если для xÎL верно: AxÎL. Всякий линейный оператор имеет по крайней мере 2 тривиальных инвариантных подпространства: 1) Нулевое подпространство 2) Все пространство Х.

Пусть L₁ – одномерное подпространство, порожденное ненулевым вектором Х. Ясно, что для того, чтобы L₁ было инвариантным ó Ax Î L₁. Ax=λx;

Def: Вектор х ≠ θ, удовлетворяющий Ax=λx называется собственным вектором, а соответствующее ему число λ - собственным значением. Все отличные от нуля векторы инвариантного подпространства являются собственными.

Теорема. В комплексном линейном пространстве Х линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство. Пусть в линейном пространстве Х выбран базис e₁,...,e_n. В этом базисе А соответствует матрица Ае=[a_ij]. Выберем произвольный х Î Х. х = α₁e₁+...+ α_ne_n. А координаты β выражаются формулами: . . Переносим и группируем. Для доказательства теоремы нужо показать, что  λ и числа α₁,...,α_n не все равные нулю, удовлетворяющие системе 2. Условием существования ненулевого решения системы 2 является равенство нулю ее определителя. det(A-λI)=0. Мы получили уравнение n-ой степени, относительно λ. Это уравнение имеет хотя бы один корень (в общем случае комплексный) λ₀­. Подставив в систему 2 вместо λ λ₀­ получим однородную СЛАУ с нулевым определителем, имеющую ненулевое решение. Тогда вектор х, удовлетворяющий этому решению будет собственным вектором, соответствующим собственному значению λ_0.

11. Доказать, что а) характеристический многочлен не зависит от выбора базиса; б) система собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям, линейно независима; в) собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство. Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном пространстве.

Определение. Многочлен, стоящий в левой части уравнения называется характеристическим многочленом матрицы оператора А, а само уравнение называет характеристическим или вековым уравнением этой матрицы.

Теорема 2. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Зафиксируем в пространстве Х некоторый базис и обозначим через матрицу оператора А в этом базисе. Пусть в некотором базисе оператор имеет матрицу . Тогда .

Теорема 3. Если линейный оператор А имеет n линейно независимых векторов (является оператором простой структуры), то, выбрав их в качестве базиса линейного пространства, мы приведем матрицу линейного оператора к диагональной форме. Обратно, если в некотором базисе матрица линейного оператора диагональна, то все векторы этого базиса являются собственными векторами.

Доказательство. Пусть А – линейный оператор, который имеет n линейно независимых векторов, где и пусть - его линейно независимые собственные векторы: . Выберем , как базис Х. В этом базисе матрица оператора будет диагональной, на диагонали будут собственные значения.

Теорема 4. Система собственных векторов , соответствующая попарно различным собственным значениям , линейно независима.

Доказательство. (через математическую индукцию).

1. n=1. Т.е. . Теорема верна.

2. Пусть теорема верна для n-1 векторов, т.е. линейно независимы.

3. Докажем, что теорема верна для n векторов (от противного):
(4) - не все коэффициенты в этой линейной комбинации ненулевые. Пусть . . Имеем нулевую комбинацию линейно независимых векторов, а значит и противоречие.

Теорема 5. Если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то матрица линейного оператора А может быть приведена к диагональной форме.

Доказательство. Каждому корню характеристического уравнения отвечает хотя один собственный вектор. Т.к. у этих собственных векторов собственные значения различны, то по теореме 4 мы имеем n линейно независимых векторов . Если эти векторы принять за базис, то матрица линейного оператора А в нем будет диагональной.

Теорема 6. Собственные векторы линейного оператора А, соответствующие собственному значению , вместе с нулевым вектором образуют подпространство пространства Х.

Доказательство. Пусть - два собственных вектора линейного оператора А, соответствующие одному собственному значению . Нужно показать, что - тоже собственный вектор: . Указанное подпространство, порожденное собственным значение, является ядром оператора .

Утверждение. Всякому линейному оператору А в линейном пространстве с определенным скалярным произведением отвечает билинейная форма , задаваемая соотношением: .

Проверка на корректность:

1)

2) .

Проверка на однозначность:

Утверждение. Каждой билинейной форме в линейном пространстве со скалярным произведением отвечает линейный оператор А такой, что: .

12. Операция перехода от оператора A к сопряженному . Свойства операции . Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном) базисе.

Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном базисе. Пусть в линейном пространстве Х выбран ортонормированный базис и .

Матрица сопряженного оператора

Теорема 1. Формула (1) устанавливает в линейном пространстве со скалярным произведением взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Связь между ними можно установить также другим способом . При этом матрица линейного оператора получается из матрицы оператора А в ортонормированном базисе путем транспонирования и комплексного сопряжения ее элементов.

Определение. Оператор называется сопряженным к линейному оператору А, если .

Свойства операции :

1) ;
Доказательство.

2) ;

3) ;

4) ;

5) .