Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Унитарные операторы и их свойства.
Определение. Линейный оператор U называется унитарным, если . Утверждения. 1) Всякий унитарный оператор U в унитарном пространстве сохраняет скалярное произведение. Всякий линейный оператор U, сохраняющий скалярное произведение, унитарен. 2) Унитарный оператор не меняет длину векторов. 3) В ортонормированном базисе строки и столбцы матрицы унитарного оператора U ортонормированные. 4) Рассмотрим скалярное произведение . Следовательно, для того, чтобы линейный оператор U был унитарным необходимо и достаточно, чтобы он переводил какой-либо ортонормированный базим в ортонормированный базис . Определение. Матрица с элементами , удовлетворяющая условиям (3, 4), называется унитарной матрицей. Замечание. Т.к. переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется унитарным оператором, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому такому же является унитарной. Лемма 1. Собственные значение унитарного оператора по модулю равны 1 (лежат на окружности единичного радиуса). Доказательство. Пусть х – собственный вектор унитарного оператора U и - соответствующее собственное значение: . Рассмотрим Лемма 2. Пусть унитарный оператор U, действующий в n-мерном пространстве Х, а е – его собственный вектор. Тогда (n-1)-мерное пространство , состоящее из векторов инвариантно относительно U. Доказательство. пространство инвариантно. Теорема 1. Для любого унитарного оператора в n-мерном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения по модулю равны 1. Доказательство. Унитарный оператор U имеет в Х хотя бы один собственный вектор, обозначим его через . По лемме 2 (n-1)-мерное подпространство , состоящее из всех векторов пространства Х ортогональных к , инвариантно относительно унитарного оператора U. Продолжая это процесс, мы получим n попарно ортогональных собственных векторов унитарного оператора U. По лемме 1 собственные значения, соответствующие собственным векторам, по модулю равны 1.
Теорема 2. Для любого унитарного оператора U в n-мерном пространстве Х существует ортонормированный базис, в котором матрица этого оператора диагональна: (5). Доказательство. Пусть U – унитарный оператор, тогда по теореме 1 существует ортонормированный базис пространства Х из собственных векторов унитарного оператора U: . В этом базисе матрица U имеет вид (5), а числа в силу леммы 1. 15. Спектральная характеристика нормального оператора. Критерий простоты структуры линейного оператора. Определение. Линейный оператор называется нормальным, если . Замечание. Унитарные и самосопряженный линейные операторы являются частными случаями нормальных операторов. Теорема. Спектральная характеристика нормального оператора. Для того, чтобы существовал ортонормированный базис, в котором линейный оператор приводится к диагональной форме, необходимо и достаточно, чтобы . Доказательство. Необходимость. Пусть в некотором ортонормированном базисе матрица оператора А диагональна , т.к. базис ортонормированный, то матрица оператора будет (транспонирование, сопряжение). Следовательно, . Достаточность. Пусть . Покажем, что у операторов А и существует общий собственный вектор : Линейная оболочка будет одномерным инвариантным подпространством, а будет также инвариантным подпространством. Докажем это: Пусть . также будет принадлежать , т.к. . Рассмотрим теперь действие оператора А из ()… Продолжая этот процесс, получим ортогональный базис из собственных векторов, нормируем его – нормированный. Определение. называется оператором простой структуры, если А имеет n линейно независимых собственных векторов. Теорема. Критерий простоты структуры линейного оператора. Для того, чтобы линейный оператор А имел простую структуру необходимо и достаточно, чтобы для любого корня характеристического уравнения кратности ранг . Доказательство. Необходимость. А – оператор простой структуры. Следовательно, существуют n линейно независимых векторов, выбирая которые в качестве базиса L, получим, что матрица линейного оператора в базисе имеет вид: . Причем среди могут быть одинаковые. Если через А обозначить матрицу линейного оператора в некотором произвольном базисе , то , где Р – матрица перехода от базиса е из собственных векторов к базису f. Следовательно , т.е. и подобны и имеют одинаковый ранг. . числу отличных от нуля ее диагональных элементов, т.е. числу корней характеристического уравнения неравных , т.о. .
Достаточность. Пусть - различные собственные значения оператора А. Собственные векторы, отвечающие собственному значению , образуют подпространство в L размерностью . Следовательно, линейный оператор А имеет линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению . Т.о. мы имеем собственных векторов . Покажем, что они линейно независимы в совокупности (от противного). Пусть это не так и равенство нулю линейной комбинации возможно при ненулевых коэффициентах. Следовательно, пусть . Введем линейный оператор . 16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство. Теорема. Достаточный признак оператора простой структуры. Если все корни характеристического уравнения различны, то линейный оператор А имеет простую структуру. Доказательство. Пусть . Покажем, что система линейно независима: (1). Подействует линейным оператором : (2). Подействует на (2) линейным оператором : (3). Продолжая процесс вплоть до оператора получим (4). Заметим, что (4) – это результат приложения оператора к исходному уравнению. Из (4) следует . Если к исходному уравнению применить оператор можно показать, что . И вообще соответствующим выбором оператора можно добиться, что все . Следовательно, - линейно независимы, а А – оператор простой структуры. Теорема 1. У всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство. Доказательство. Выберем в линейном пространстве Х базис . В этом базисе линейному оператору А соответствует матрица , преобразующая координаты в координаты . Рассмотрим условие в координатной форме: (1) Тогда ненулевое решение (1) существует, если (2). И пусть - корень уравнения (2). Возможны два случая: 1) - вещественное, тогда существует решение системы (1), определяющее координаты собственного вектора х. х порождает одномерное инвариантное пространство; - комплексное (). Пусть - это решение системы (1). Подставим эти числа в (1) и отделим вещественную часть от мнимой.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 958; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.107.96 (0.014 с.) |