Основные свойства самосопряженных операторов.

Определение. Линейный оператор А называется самосопряженным или эрмитовым, если .

Утверждения.

1) Для того, чтобы линейный оператор А был эрмитовым необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ему билинейная форма была эрмитовой: .
Доказательство.
Необходимость. ;
Достаточность.

2) Всякий линейный оператор А может быть записан в виде .

Замечание. Пусть А и В – самосопряженные линейные операторы. Для того, чтобы оператор АВ был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы АВ=ВА, т.е. чтобы линейные операторы А и В были перестановочными.

Лемма 1. Собственные значения самосопряженного линейного оператора вещественные.

Доказательство. Пусть х – собственный вектор линейного оператора А и - его собственное значение:

Лемма 2. – самосопряженный линейный оператор, а е – его собственный вектор. Тогда совокупность есть (n-1)-мерное подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А.

Доказательство. Х, как ортогональное дополнение к есть (n-1)-мерное подпространство в Х. Покажем, что это подпространство инвариантно относительно оператора А: .

Теорема 1. Для любого самосопряженного линейного оператора в n-мерном унитарном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения вещественны.

Доказательство. В Х существует хотя бы собственный вектор линейного оператора А. По лемме 2 совокупность векторов ортогональных образует (n-1)-мерное инвариантное подпространство . Будем рассматривать линейный оператор . Продолжая этот процесс, мы получим в результате n попарно ортогональных собственных векторов . Согласно лемме 1, соответствующие собственные значения вещественны.

Теорема 2. А – самосопряженный линейный оператор в n-мерном унитарном пространстве, тогда существует ортогональный базис, в котором матрица линейного оператора А диагональна и вещественно. Верно и обратное.

Доказательство.

Необходимость. Выберем в качестве базиса построенные при доказательстве теоремы 1 собственные векторы и пронормируем их. В этом базисе матрица оператора имеет вид: (1).

Достаточность. Пусть матрица оператора А в ортонормированном базисе имеет вид (1). Итак, в ортонормированном базисе матрица получается из матрицы линейного оператора А транспонированием и заменой каждого элемента комплексным сопряжением. Проделав эти операции над матрицей вида (1), где все - вещественные, мы получим ту же матрицу, следовательно А и соответствует одна и та же матрица, т.е. .

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть у линейного оператора А имеются

Определение. Матрица называется эрмитовой, если .

Теорема 4. Для того, чтобы линейный оператор А был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы его матрица была эрмитовой.

Теорема 5. Пусть в n-мерном унитарном пространстве Х задана эрмитова билинейная форма. Тогда в Х существует ортонормированный базис, в котором соответствующая билинейная квадратичная форма, записывается в виде: - координаты Х.

Доказательство. Пусть - эрмитова билинейная форма, т.е. . Тогда существует самосопряженный линейный оператор А такой, что . Выберем в качестве базиса Х ортонормированную систему собственных векторов самосопряженного линейного оператора А (по теореме 1). Тогда .

.