Основные свойства симметричных операторов.

Определение. Самосопряженный оператор в евклидовом пространстве называется симметричным, если .

Утверждение. Пусть - ортонормированный базис, . Пусть х и у в базисе е имеют координаты: . Тогда . Это утверждение верно только в ортонормированном базисе.

Лемма 1. Для всякого симметричного оператора существует одномерное инвариантное пространство.

Доказательство. Из теоремы 1 (билет 16) следует, что нам нужно доказать существование вещественного корня характеристического уравнения (2). Предположим, что . Построим два вектор х и у такие, что .

Лемма 2. Пусть А – симметричный оператор, а е – его собственный вектор, тогда множество векторов, ортогональных е, образуют (n-1)-мерное инвариантное пространство: .

Доказательство. Пусть .

Теорема 2. Существует ортонормированный базис, в котором матрица симметричного оператора А диагональна.

Доказательство. По лемме 1 линейный оператор А имеет хотя бы один собственный вектор, т.к. - инвариантное относительно линейного оператора А пространство, то в существует собственный вектор … В итоге мы получим n собственных векторов, ортогональных по построению. Затем пронормируем их.

Теорема 3. Пусть - квадратичная форма в n-мерном евклидовом пространстве, тогда существует ортонормированный базис , в котором эта квадратичная форма имеет вид: , где - собственные значения симметричного оператора.

Доказательство. . Выберем ортонормированный базис е из собственных векторов (существует по теореме 2).

18. Ортогональные операторы и их свойства.

Определение. Линейный оператор , действующий в n-мерном евклидовом пространстве Х, называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение .

Свойства.

1) ортогональный оператор сохраняет длины векторов;

2) ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.
Доказательство.

3) Если - ортонормированный базис в Х, то тоже образуют ортонормированный базис в Х.
Доказательство.

4) Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе имеет ортонормированные строки и столбцы.

5) Определитель матрицы ортонормированного оператора равен .
Доказательство. .

6) Ортогональный оператор всегда не вырожден.

7) Тождественный оператор является ортогональным.

8) Произведение ортогональных операторов снова будет ортогональным оператором.
Доказательство.

9) Оператор, обратный ортогональному, тоже ортогональный.
Доказательство. .

10) Линейный оператор, переводящий хотя бы один базис в ортонормированный, является ортогональным.
Доказательство.

Определение. Ортогональные операторы, определитель матрицы которых равен 1, называются собственными, у которых равен –1, несобственными.

Лемма 3. Если - подпространство евклидова пространства Х, инвариантное относительно ортогонального оператора А, то его ортогональное дополнение также является инвариантным пространством.

Доказательство. Если взять . Поскольку А – ортогональный оператор, он не вырожден и его образ на любом инвариантном подпространстве совпадает с этим пространством, поэтому х имеет свой прообраз .

Теорема 4. Матрица ортогонального оператора в некотором ортонормированном базисе имеет вид:

Доказательство. По теореме 1 (билет 16) любой линейный оператор в n-мерном евклидовом пространстве имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство . Если - одномерное и инвариантное относительно нашего линейного оператора пространство, то найдем е, порождающий . На этом подпространстве линейный оператор имеет вид . Если же - двумерное пространство и определитель А является собственным оператором, то имеет матрицу . По лемме 3, ортогональное дополнение будет также инвариантным относительно ортогонального оператора А. Рассмотрим действие А на ортогональное дополнение, и, проведя точно такой же анализ, мы получим еще одномерное и двумерное подпространство. Продолжая этот процесс, получим ортонормированный базис, в котором матрица ортогонального оператора имеет требуемую структуру. 1 и –1 отвечают одномерным инвариантным пространствам, а клетки с соответствуют двумерным инвариантным пространствам.

 

19. Определение аффинного пространства. Различные способы задания прямой в аффинном пространстве (векторный, в параметрическом виде, канонический, по двум точкам). Угол между прямыми. Нахождение расстояния от данной точки до данной прямой. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую.

Def: пусть задано n-мерное векторное пространство Vⁿ над полем F и непустое множество Aⁿ, элементы которого будем называть точками. Предположим, что  упорядоченной паре точек M,N Î Aⁿ поставлен в соответствие вектор пространства Vⁿ, обозначаемый , причем выполнены следующие аксиомы:

1)Для  M Î Aⁿ и  a Î Vⁿ  единственная точка N Î Aⁿ, что =a 2) Для  трех точек L,M,N Î Aⁿ имеет место .

Тогда множество Aⁿ называется n-мерным аффинным пространством, связанным с векторным пространством Vⁿ.

Способы задания прямой:

Def: Будем называть прямой в аффинном пространстве множество точек этого пространства, получаемых из одной его точки всеми переносам, векторы которых коллинеарны. Т.к. векторы этих переносов имеют вид at, где t Î R, радиус-векторы прямой имеют вид (1) x=x₀+at.

1) Уравнение 1 называется векторным уравнением прямой. При этом а – направляющий вектор. Две различные прямые, полученные из различных точек одними и теми же переносами, называются параллельными.

2) Координатные уравнения прямой. Уравнение 1 равносильно n координатным уравнениям (2) x_i=x₀+a_it. Уравнение 2 – параметрическое уравнение прямой. Разрешая его относительно T и приравнивая полученные выражения получаем: - каноническое уравнение прямой.

3) Уравнение прямой по двум точкам. Если задано две точки M₀(x₀) и M₁(x₁), то за направляющий вектор прямой, проходящей через эти две точки можно принять =x₁-x₀ . Поэтому векторное уравнение этой прямой может быть записано в виде x=x₀+(x₁-x₀)t, а каноническое уравнение:

Расстояние от точки до прямой. Расстояние w от точки M(r) до произвольной точки прямой определяется соотношением (7): . Исследуя w² как функцию от t. (8) - это значение даст минимальное расстояние. Подставляя 8 в 7 получаем:

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. Требуя, чтобы отрезок MN, соединяющий М(х) с некоторой точкой N прямой, был перпендикулярен направляющему вектору а этой прямой, т.е. чтобы вектор x-x₀-at был ортогонален а. (x-x₀-at,a)=0. Значение t, удовлетворяющее этому условию совпадает с 8. Это совпадение |-> основание N перпендикуляра, опущенного из данной точки М на прямую, совпадает с той точкой прямой, которая находится на минимальном расстоянии от данной точки.

20. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр двух прямых.

Взаимное расположение двух прямых. Если две прямые в n-мерном аффинном пространстве, определяющиеся уравнениями (10) пересекаются (имеют одну общую точку), т.е. существуют такие значения t и u, когда . Т.е. линейно независимы. Если две прямые, заданные уравнения (10) параллельны и их направляющие векторы а, b коллинеарны, т.е. . Т.о. опять линейно зависимы. Покажем, что справедливо обратное, т.е. если векторы линейно зависимы, то прямые (10) пересекаются или параллельны. Действительно, если , то прямые параллельны; если же векторы а и b неколлинеарны, то вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов а и b, т.е. в виде: . Поэтому точка, радиус-вектором которой является этот вектор, есть точка пересечения данных прямых. Т.о. необходимым и достаточным условием того, что две прямые, заданные выражением (10), пересекаются или параллельны, является линейная зависимость тройки векторов . Если же вышеописанная тройка линейно независима, то прямые скрещиваются.

Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Найдем кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми l и m, которые записаны уравнением (10):

(13)

Вектор MN имеет вид:

Вычислим теперь : Общий перпендикуляр двух прямых. Требуем, чтобы отрезок, соединяющий произвольные точки двух данных прямых (10), был перпендикулярен направляющим векторам а и b обеих прямых. Мы получили условие (14), отсюда находим, что значение t и u, удовлетворяющие этому условию, совпадают со значением (15). Это совпадение показывает, что основания общего перпендикуляра двух прямых совпадают с теми точками эти прямых, расстояние между которыми минимально.

21. Различные способы задания плоскостей (векторный, в параметрическом виде, по точке и нормали, по точке и направляющим векторам, по n точкам). Основная теорема о плоскости. Угол между плоскостями. Условие принадлежности n+1 точки одной плоскости.

Определение. Будем называть m-мерной плоскостью аффинного пространства или m-плоскостью множество всех точек этого пространства, полученных из одной его точки всеми переносами, векторы которых коллинеарны и принадлежат одному линейному пространству.

Т.к. векторы этих переносов имеют вида , где принимает все вещественные значения, то радиус-векторы точек m-плоскости имеют вид? (1) – векторное уравнение m-плоскости. Векторы называются направляющими векторами m-плоскости.

Замечание. Прямые можно рассматривать, как 1-плоскость; точки – как 0-плоскость.

Определение. Различные плоскости, получающиеся из различных точек одними и теми же переносами, называются параллельными плоскостями. ().

Уравнение (1) равносильно (2) – параметрическое (координатное) уравнение m-плоскости в координатах.

Если задано m+1 точек и векторы линейно независимы, то эти точки определяют единственную m-плоскость, проходящую через них. В этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы , и векторное уравнение m-плоскости может быть записано в виде: (3).

Определение. Будем называть m-плоскость, определяемую точками - m-плоскостью .

Определение. Если m=n-1, то такая плоскость называется гиперплоскостью или просто плоскостью.

Если мы умножим обе части уравнения (1) на вектор u, перпендикулярный всем , то т.к. , мы получим уравнение (4): , или , или .

Определение. Вектор u ортогональный ко всем направляющим векторам и, следовательно, ко всем векторам, направленным по плоскости, называется вектором нормали.

Пусть - ортонормированный базис в n-мерном аффинном пространстве, тогда х можно разложить по этому базису: . Тогда (4) можно записать, как (5).

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали. Если задана точка и вектор нормали u, то т.к. удовлетворяет уравнению (4), мы получаем, что .

Уравнение плоскости по точке и направляющим векторам. Если задана точка и ее направляющие векторы , то уравнение плоскости будет: (8).

Уравнение плоскости по n точкам. Пусть даны n точек , при этом линейно независимы. Тогда уравнение плоскости будет иметь вид: (9).

Теорема. Если заданы n+1 точек , то необходимым и достаточным условие того, что точки лежат на одной плоскости является линейная зависимость векторов .

Доказательство.

Необходимость. Если точки лежат на одной плоскости, то n векторов , являющиеся линейными комбинациями n-1 направляющего вектора , линейно зависимы.

Достаточность. Если эти векторы линейно зависимы, то существует вектор u, перпендикулярный всем этим векторам, и все эти точки лежат на плоскости с уравнением (4), проходящей через точку , ортогональной вектору u. Формально принадлежность n+1 одной точки к плоскости записывают в виде равенства нулю определителя: (10) /

Определение. Углом между двумя плоскостями называется тот из углов между векторами нормали этих плоскостей, который . Угол между плоскостями с векторами нормали u и v находится по формуле: (11).