Производная функции, заданной неявно и параметрически.

Функция, заданная неявно

Неявной функцией переменной называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего и , и не разрешенного относительно . Чтобы перейти к явному заданию функции необходимо разрешить данное уравнение относительно . Такой переход не всегда легок, а иногда и вовсе невозможен.

Пусть дифференцируемая функция переменной задана неявно уравнением . Тогда производную можно найти, дифференцируя тождество как сложную функцию. При этом необходимо учитывать, что - это функция переменной . А затем решить полученное уравнение относительно Производная функции, заданной неявно выражается через переменную саму функцию .

 

Функция, заданная параметрически

Пусть заданы две функции переменной :

.

Задание этих функций означает задание функциональной зависимости между переменными и .

Если в некотором интервале (a,b) функции и дифференцируемы и , то на интервале (a,b) функция однозначно определена, дифференцируема и

.

Тогда

и т.д.

Пример 4.7. Найти первую производную функции
в точке .

Решение

Данная функция задано неявно. Продифференцируем тождество по переменной x, имея в виду, что есть функция от :

Выразим из получившегося тождества :

.

Найдем значение первой производной в в точке :

Пример 4.8. Найти первую и вторую производные функции .

Решение:

Данная функция задано неявно. Продифференцируем тождество по переменной x, имея в виду, что есть функция от :

.

Выразим из получившегося тождества :

.

Из условия имеем ; тогда

.

Найдем вторую производную, продифференцировав получившееся равенство по переменной x, имея в виду, что есть функция от :

Выражение для было уже найдено ранее, подставим его в и получим:

Итак, имеем

;

Пример 4.9. Написать уравнение касательной и уравнение нормали к линии в точке .

Решение

-уравнение касательной в точке ;

- уравнение нормали в точке .

Нам необходимо написать уравнение касательной в точке . Следовательно, ; а .

Найдем производную, продифференцировав тождество по переменной x, имея в виду, что есть функция от :

;

;

.

Разделим получившееся тождество на ln 2 и подставим вместо координаты точки М(; ), а затем найдем производную функции в точке М:

.

Напишем уравнение касательной:

.

Напишем уравнение нормали:

.

Итак. - уравнение касательной в точке М(2.1);

- уравнение нормали в точке М(2.1).

Пример 4.10. Найти первую и вторую производные функции, заданной параметрически:

1) ; 2) .

Решение

1) .

Первую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле: .

Найдем производные функций и по переменной , применив формулу для нахождения производной произведения:

Тогда

.

Вторую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле: .

Продифференцируем функцию по переменной :

.

Тогда .

Таким образом:

; .

2) .

Первую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле: .

Найдем производные функций и по переменной , применив для функции правило дифференцирования сложной функции и формулу производной произведения:

Тогда

.

Вторую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле: .

Продифференцируем функцию по переменной :

.

Тогда .

Таким образом:

;

Пример 4.11. Написать уравнение касательной и уравнение нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

Решение

-уравнение касательной в точке ;

- уравнение нормали в точке

Найдем значение функции при :

.

Следовательно,

Найдем значение функции при :

.

Следовательно,

Вычислим производную функции по формуле .

Для этого найдем производные функций и по переменной :

;

Тогда по формуле найдем :

.

Следовательно, .

Напишем уравнение касательной:

.

Напишем уравнение нормали:

.

Итак., - уравнение касательной в точке М(2.1);

- уравнение нормали в точке М(2.1).