Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

Теорема Ролля

Если функция

1) непрерывна на отрезке [ a, b ],

2) дифференцируема на интервале (a, b),

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. ,

тогда на интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка , в которой производная данной функции равна нулю, т. е.

.

Все условия теоремы Ролля существенны, при нарушении хотя бы одного из этих условий утверждение теоремы может оказаться неверным. Например, непрерывная функция на концах отрезка [ -1, 1] имеет равные значения (), а вместе с тем ее производная нигде в ноль не обращается. В данном случае не выполнено второе условие теоремы Ролля: в точке , лежащей внутри интервала (-1,1), производная функции не существует (было показано в п. 4.2.). Точно также теорема может быть не верна, если нарушено условие непрерывности функции на

[ a, b ]. Например, функция имеет равные значения на концах отрезка [-1, 1]: , дифференцируема на интервале (-1,1), но ее производная во всех точках этого интервала равна 1, и, следовательно, нет точки, в которой производная равна нулю. Здесь нарушено первое условие теоремы, так как функция не является непрерывной на отрезке [ -1, 1]

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в следующем: если функция на некотором интервале удовлетворяет условиям теоремы Ролля, то на этом интервале найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

 

Теорема Лагранжа

 

Если функция

1) непрерывна на отрезке [ a, b ],

2) дифференцируема на интервале (a, b),

тогда на интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка , такая, что

, .

Теорема Роля является частным случаем теоремы Лагранжа.

 

Следствия из теоремы Лагранжа

1.Если функция дифференцируема на интервале (a, b) и для всех , то на данном интервале.

2. Если функция непрерывна на отрезке [ a, b ],

дифференцируема на интервале (a, b) и для всех верно равенство , то , т.е.

функция - линейная функция.

 

Формула Коши

Если функции и

1) непрерывны на отрезке [ a, b ],

2) дифференцируемы на интервале (a, b), причем во всех точках этого интервала,

тогда на интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка , такая, что

, .

 

Правило Лопиталя.

 

Пусть функции f (x) и g (x) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки а, причем и в этой окрестности. Если функции f (x) и g (x) являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими и при этом существует (конечный или бесконечный)

Тогда также существует, причем

Пример 4.11. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Решение

1) = 0.

2) = = +¥.

3) =
=
= 0.

4) =
= 0.

5)

Второй предел в данном произведении при равен 1,

в первом же пределе получили снова неопределенность вида , еще раз применим правило Лопиталя:

6) = .

7)

.

8)

.

9) ;

Вычислим предел: .

В данном пределе имеем неопределенность вида .

Вычислим предел по правилу Лопиталя:

=

=| по правилу Лопиталя|=

.

Следовательно,

10)

.