Предел последовательности, предел и непрерывность функции одной переменной.

Предел последовательности, предел и непрерывность функции одной переменной.

3.1. Функции и основные понятия, связанные с ними.

Пусть X – некоторое числовое множество. На множестве X определена числовая функция f, если каждому элементу x множества X () поставлено в соответствие действительное число f(x). Множество X называется областью определения функции. Произвольный элемент области определения обозначается буквой x и называется аргументом функции. Множество всех значений функции f(x), когда аргументпробегает область определения функции, называется множеством значений функции f.

Обычно функцию задают формулой, указывающей последовательность математических операций, которые необходимо выполнить над аргументом, чтобы получить ее значение. В этом случае под областью определения функции понимают множество тех значений аргумента, для которых указанные формулой действия выполнимы. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Табличный способ задания функции состоит в том, что указываются значения аргумента и соответствующие им значения функции . При табличном задании функции, ее область определения состоит только из значений , перечисленных в таблице.

Функция f(x) задана графически, если на координатной плоскости изображен ее график. Графиком функции f(x) называется множество точек координатной плоскости с координатами (x, f(x)), т. е. множество точек, абсциссы которых принадлежат множеству X, а ординаты равны соответствующим значения функции.

Функция f(x) определенная на множестве X, называется четной, если для любого выполняются условия:

- и .

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция f(x) определенная на множестве X, называется нечетной, если для любого выполняются условия:

- и .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f(x) определенная на множестве X, называется периодической, если существует такое число Т >0, что для любого выполняются условия:

и .

Число Т называется периодом функции f(x).

Функция f(x), называется ограниченной в окрестности точки , если существует такое число М> 0, что

, для любого данной окрестности точки .

Сведения из элементарной математики

Действия с многочленами

Разложение многочленов на множители

Многочлен вида a_nxⁿ + a_{n –1} x^{n –1} … + a ₀ можно разложить на множители по формуле:

a_nxⁿ + a_{n– 1} x^{n– 1} +… + a ₀ = a_n (x – x ₁) (x – x ₂)…(x – x_n),

где x _1, x ₂, … x_n – корни этого многочлена.

Деление многочленов

1. Дробь вида можно разложить на сумму дробей по формуле:

2. Деление многочлена на многочлен можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.

При делении многочлена на многочлен делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, а затем частное от этого деления умножают на многочлен-делитель, и это произведение вычитают из многочлена-делимого. Затем повторяют то же самое до тех пор, пока деление не закончится или степень остатка не станет меньше степени многочлена-делителя.

Пример 3.2.

Разделить многочлен 2 x ³ – 3 x + 1 + 3 x ² на многочлен x + 2.

Решение

1) Записываем оба многочлена по убыванию степеней:

2 x ³ + 3 x ² – 3 x + 1 | x + 2

2) Делим первый член делимого 2 x ³ на первый член делителя х. Результат 2 х ² – есть первый член частного:

2 х ³ + 3 х ² – 3 х + 1 | х + 2

2 х ²

3) Умножаем полученный член 2 х ² на делитель х + 2, результат записываем под делимым:

2 х ³ + 3 х ² – 3 х + 1| х + 2

2 х ³ + 4 х ² 2 х ²

4) Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого:

2 х ³ + 3 х ² – 3 х + 1 | х + 2

2 х ³ + 4 х ² 2 х ²

– х ²– 3 х

5) Делим получившийся первый член (– х ²) на первый член делителя х. Результат (– х) есть второй член частного:

2 х ³ + 3 х ² – 3 х + 1 | х + 2

2 х ³ + 4 х ² 2 х ² – х

– х ² – 3 х

6) Умножаем полученный член (– х) на делитель х +2, результат записываем под делимым. Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого:

2 х ³ + 3 х ² – 3 х + 1 | х + 2

2 х ³ + 4 х ² 2 х ²– х

– х ² – 3 х

– х ² – 2 х

– х +1

7) Делим получившийся первый член (– х) на первый член делителя х. Результат (–1) есть третий член частного. Затем проделаем те же действия, что и в первых двух случаях:

2 х ³ + 3 х ² – 3 х + 1 | х + 2

2 х ³ + 4 х ² 2 х ² – х – 1

– х ² – 3 х

– х ² – 2 х

– х + 1

– х – 2

Получили остаток 3. Степень его меньше степени делителя. Деление закончено. Следовательно,

.

Пример 3.3. Разделить многочлен 2 х ⁴ + х ³ – 10 х ² – 7 х + 2 на многочлен х ² + 3 х + 2.

Решение

2 х ⁴ + х ³ – 10 х ² – 7 х + 2 | х ² + 3 х + 2

2 х ⁴ + 6 х ³ + 4 х ² 2 х ² – 5 х + 1

–5 х ³ – 14 х ² – 7 х

–5 х ³ – 15 х ² – 10 х

х ² + 3 х + 2

– х ² + 3 х + 2

т.е. .

Пример 3.4. Разделить многочлен – х ⁴ + х ³ + 2 х ² + 3 х – 1 на многочлен x ² + 3 x – 1.

Решение

Разделим многочлен – на многочлен столбцом:

– х ⁴ + х ³ + 2 х ² + 3 х – 1 | x ² + 3 x – 1

– x ⁴ – 3 x ³ + 3 x – x ² + 4 x – 11

4 x ³ + x ² + 3 x

4 x ³ + 12 x ² – 4 x

–11 x ² + 7 x – 1

–11 x ² – 33 x + 11

40 x – 12

– целая часть; 40 x – 12 – остаток.

Тогда .

Пример 3.5. Разложить на множители многочлены:
а)(– х + 1)² – (2 х + 3)²;

б) (– х + 1)³ + (2 х + 3)³.

Решение

а) (– х + 1)² – (2 х + 3)² = (– х + 1 – 2 х – 3) (– х + 1 + 2 х + 3) =
= (– 3 х – 2) (х + 4).

б) (– х + 1)³ + (2 х + 3)³ = (– х + 1 + 2 х + 3)((– х + 1)² – (– х + 1) ´
´ (2 х + 3) + (2 х + 3)²) = (х + 4)(х ² – 2 х + 1 – (– 2 х ² + 2 х – 3 х + 3) + 4 х ² + + 12 х + 9) = (х + 4)(х ² – 2 х + 1 + 2 х ² – 2 х + 3 х – 3 + 4 х ² + 12 х + 9) =
= (х + 4) (7 х ² + 11 х + 7).

Предел последовательности

Последовательностью действительных чисел называется числовая функция , определенная на множестве всех натуральных чисел. Аргумент этой функции обозначается n, а сама функция - . Таким образом, числовая последовательность задана, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие определенное число . Числа называются членами последовательности. Принято обозначать последовательность символом: .

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что .

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что

Последовательность называется ограниченной, если

существуют такие числа m и M, что .

Число А называется пределом последовательности , если любого положительного числа существует такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство:

.

Обозначение:

С помощью логических символов определение предела последовательности записывается следующим образом:

.

Последовательность называется бесконечно большой, если любого сколь угодно большого числа Е существует такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство:

.

Или с помощью логических символов:

.

Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, и расходящейся, если она предела не имеет.

Последовательность называется возрастающей, если для любого n выполнено неравенство .

Последовательность называется убывающей, если для любого n выполнено неравенство .

Последовательность называется неубывающей, если для любого n выполнено неравенство .

Последовательность называется невозрастающей, если для любого n выполнено неравенство . Последовательность называется монотонной, если она возрастающая, убывающая, невозрастающая или неубывающая

 

Основные теоремы о сходящихся

последовательностях.

1)Последовательность не может иметь двух различных пределов.

2)Сходящаяся последовательность ограничена.

3)Если последовательности и сходятся, то сходятся и последовательности ; , причем

;

.

Если, кроме того, и , то последовательность также сходится и

.

4)Если для последовательностей , и , начиная с некоторого номера, выполняется неравенство и = А, то

4) Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел (теорема Вейерштрасса).

Пример 3.8. Вычислить пределы последовательностей:

1) ; 2)
3) ;
4) ;
5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Решение

1)
= = = = = = = = .

2) = = = = .

3) = = = = = .

4) = = = = = = = .

5) = = = .

6) =

=
= = = 1. 7) =

8)

 

Предел функции

Любой интервал, содержащий точку называется окрест- ностью точки . Интервал = называется - окрестностью точки. . Интервал (x ₀)= называется проколотой - окрестностью точки. .

Функция f(x), называется ограниченной в окрестности точки , если существует такое число М> 0, что

, для любого .

Определение предела функции.

1. По Коши.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x ₀, где r > 0 – некоторое число, тогда:

Число a называется пределом функции f (x) в точке х ₀ и обозначается

,

если для любого положительного числа (e> 0) существует такое положительное число d(e), зависящее от e, такое что для всех х Î и удовлетворяющих неравенству 0 < | x – x ₀| < d(e), будет верно неравенство | f (x) – a | < e.

Или с помощью логических символов:

.

Также определение предела функции можно записать, используя понятие окрестности:

.

2. По Гейне.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x ₀, тогда число a называется пределом функции f (x) в точке х ₀. если для любой последовательности значений аргумента х Î , сходящейся к точке х ₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу а.

 

Бесконечно большие функции.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x ₀. Тогда функция f(x) имеет в этой точке бесконечный предел (), если для любого сколь угодно большого числа Е > 0 существует такое число d(Е) > 0 и зависящее от Е, такое, что для " х Î , из условия 0 < | x – x ₀| < d(Е) следует условие | f (x)| > E.

Или с помощью логических символов:

.

Если , то функцию f(x) называют бесконечно большой.

 

Односторонние пределы.

 

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x ₀.

Число а называется пределом функции при х ® x ₀ + 0 справа (), если для "e > 0 $ d(e) > 0, такое что для " х Î из условия 0 < x – x ₀ < d(e) следует | f (x) – a | < e.

Число а называется пределом функции при х ® x ₀ – 0 слева (),если для " e > 0 $ d(e) > 0, такого что для " х Î из условия –d(e) < x – x ₀ < 0 следует | f (x) – a | < e.

Предел в бесконечности.

Пусть функция y = f (x) определена для всех x, таких что .

Число а называется пределом функции при х ® ¥ (), если для " e > 0 $ d(e) > 0, такое что для " х из условия | x | > d(e) следует неравенство | f (x) – a | < e.

 

.

Основные теоремы о пределе функции.

1) Пусть при существуют конечные пределы функций и . Тогда при , существуют также пределы суммы, разности и произведения этих функций, при этом:

(f ₁(x) f ₂(x)) = f ₁(x) f ₂(x);

(f ₁(x) f ₂(x)) = f ₁(x) × f ₂(x);

Если, кроме того, , то существует предел частного этих функций и

2)Если при функция f(x) имеет предел, то этот предел единственный.

3) Если для всех х Î , и функции и имеют в точке предел, то

.

3)Если для всех х Î , и функции и в точке имеют один и тот же предел, равный а, то и функция в точке имеет предел, равный этому же числу.

= = .

4) Если функция f(x), определенная в окрестности точки , имеет в этой точке конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Замечательные пределы

Частое применение находят следующие пределы:

– первый замечательный предел;

= e – второй замечательный предел,

или

Арифметика бесконечностей

Пусть с = const, с ¹ 0, тогда:

1) с × ¥ = ¥; 5) –¥ – ¥ = –¥;

2) 6) (+¥) ^с = +¥;

3) ; 7) (+¥)^+¥ = +¥;

4) +¥ + ¥ = +¥; 8) .

Неопределенности

Если при вычислении пределов получается выражение вида

,

называемое неопределенностью, то необходимо с помощью преобразований избавиться от этих неопределенностей.

Бесконечно малые функции.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x ₀. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x ₀, если

.

Свойства бесконечно малых функций.

1)Сумма (разность) двух бесконечно малых функций при
x ® x ₀ есть бесконечно малая функция при x ® x ₀.

2)Произведение бесконечно малой функции при x ® x ₀ на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки x ₀ функцию есть бесконечно малая функция при x ® x ₀.

Из определения предела функции следует, что число а является пределом функции f(x) в точке тогда и только тогда, когда эта функция представима в виде , где a(x) бесконечно малая функция при x ® x _0.

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть функции и - бесконечно малые функции при x ® x _0.

Бесконечно малые при x ® x ₀ функции и называются эквивалентными _, если предел их отношения при x ® x ₀ равен единице, т. е.

~ 1.

Бесконечно малые при x ® x ₀ функции и называются сравнимыми, если существует хотя бы один из пределов или .

Бесконечно малые при x ® x ₀ функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости _, если

c .

Бесконечно малая при x ® x ₀ функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая _, если

0.

Обозначение: .

Бесконечно малая при x ® x ₀ функция имеет порядок малости r (r>0) относительно бесконечно малой _, если

c .

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пусть a(x) ® 0, тогда

sin a(x) ~ a(x)

tg a(x) ~ a(x)

1 – cos a (x) ~

arcsin a (x) ~ a (x)

arctg a (x) ~ a (x)

a ^a(x) – 1 ~ a (x) ln a

e ^a(x) – 1 ~ a (x)

log _a (1 + a (x)) ~ a (x) log _a e

ln (1 + a (x)) ~ a (x)

(1 + a (x)) ^m – 1 ~ m ×a (x)

Если a(x), b(х) – бесконечно малые фуекции и a(x) ~ a₁(x),
a b(х) ~ b₁(х) при x ® x ₀, то:

При вычислении предела частного двух бесконечно малых одну из них или обе можно заменить эквивалентными им бесконечно малыми.

Самые распространенные ошибки при вычислении предела некоторого выражения заключаются в замене функции на эквивалентную бесконечно малую в случае, если функция не стремится к нулю, а также в замене функции, не являющейся множителем всего выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы).

Например, нельзя заменить бесконечно малую при функцию на функцию , так как при функция не стремится к нулю. Также нельзя в пределе заменить функции и на эквивалентную им бесконечно малую при функцию .

Пример 3.9. Вычислить пределы функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ; 13) ;

14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ;

20) ; 21) ; 22) ;

23) ; 24) ; 25) ;

26) ;27) ;

28) ; 29) ;

30) ; 31) ; 32) ;

33) ; 34) ;

35) ; 36) ;

37)

 

Решение

1) .

2) = .

3) =

= .

4) = = .

5) = = .

6) =
= .

7) = = =
.

8)

 

9) =
= = .

10) =
= .

 

11)

12) .

Разложим числитель и знаменатель на множители: