Дифференциал функции. Дифференцируемость функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , а приращение

функции в точке можно представить в виде

,

где А - некоторое число, которое не зависит от , а при . Тогда функция f(x) называется дифференцируемой в точке , а произведение называется ее дифференциалом в точке и обозначается .

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в этой точке.

Если функция дифференцируема в точке , то ее дифференциал в этой точке равен

dy = y ¢(x ₀) x.

Для функции имеем , т. е. дифференциал независимого переменного x совпадает с приращением . Поэтому дифференциал функции записывается в виде

dy = y ¢(x ₀) d x,

и производная может быть записана как отношение дифференциалов:

.

Основные правила вычисления дифференциалов функций те же, что и для вычисления производной.

1) , где c=const.;

2) ;

3) ;

4) ();

5) .

Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале. Производная дифференцируемой на интервале функции сама является функцией аргумента .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное заключение неверно: из непрерывности функции в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке.

Например, функция непрерывна в точке , но она не дифференцируема в этой точке, т.к.

, .

Левая и правая производные не равны между собой. Следовательно, в точке =0 функция не имеет производной.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой , при изменении аргумента от до + .(рис.4.2)

Рис. 4.2

 

Применение дифференциала функции к

приближенным вычислениям.

Если приращение , то дифференциал функции и приращение приближенно равны между собой.

.

Пример 4.3. Найти дифференциал функции
1) y = ;2) у = .

Решение 1) y = .

Для нахождения дифференциала воспользуемся формулой dy = y ¢(x) d x.

Найдем производную заданной функции, применив формулу для нахождения производной произведения:

и правило нахождения производной сложной функции:

(f (g (x))' = f ' (g (x))× g ' (x).

Тогда

.

2) у = .

dy = y ¢(x) d x – дифференциал функции y(x)

Найдем производную заданной функции.

Функция у = не является ни показательной, ни степенной. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся предварительным логарифмированием:

Тогда

.

По формуле для нахождения производной произведения и по

правилу дифференцирования сложной функции имеем:

Тогда

Пример 4.4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала 1) ; 2) .

Решение 1) .

Рассмотрим функцию .

В формуле положим , .

Найдем значение функции и значение производной в точке

^

;

.

Тогда имеем:

Следовательно,

2)

Рассмотрим функцию .

В формуле положим , .

Найдем значение функции и значение производной в

точке :

;

;

Тогда имеем:

Следовательно, .