Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Пусть функция f (x) в некоторой окрестности точки a имеет производные до n -го порядка включительно, тогда справедлива формула Тейлора: , – остаточный член в форме Лагранжа; В частности, при а = 0 получаем формулу Маклорена: , где ξ = q x, 0 < q < 1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Пусть функция f (x) в некоторой окрестности точки a имеет производные до n -го порядка включительно, тогда справедлива формула Тейлора: , () называется остаточным членом в форме Пеано. Разложение основных элементарных по формуле Маклорена 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
В частности:
. Пример 4.12. Разложить многочлен 3 x 4 – x 3 + 8 x 2 + x – 1 по формуле Тейлора в точке х 0 = 2. Решение Запишем формулу Тейлора: f (x) = f (x 0) + + +...+ + Rn, где Rn – остаточный член. Найдем производные функции. f ¢ (x) = 12 x 3 – 3 x 2 + 16 x + 1; f ¢¢(x) = 36 x 2 – 6 x + 16; f ¢¢¢(x) = 72 x – 6; f (IV)(x) = 72; f ( V )(x) = 0; f ( n )(x) = 0 при n ³ 5. Найдем значения функции и производных в точке x 0 = 2. f (x 0) = f (2) = 3 × 24 – 23 + 8 × 22 + 2 – 1 = 48 – 8 + 32 + 1 = 73; f ¢(x 0) = f ¢(2) = 12 × 23 – 3 × 22 + 16 × 2 + 1 = 12 × 8 – 3 × 4 + 32 + +1= 96 – 12 + 33 = 117; f ¢¢(x 0) = f ¢¢(2) = 36 × 4 – 6 × 2 + 16 = 144 – 12 + 16 = 148; f ¢¢¢(x 0) = f ¢¢¢(2) = 72 × 2 – 6 = 144 – 6 = 138; f ( IV )(x 0) = f ( IV )(2) = 72. Тогда f (x) = 3 x 4 – x 3 + 8 x 2 + x – 1 = 73 + 117(x – 2) + (x – 2)2 + + (x – 2)3 + (x – 2)4= 73 + 117(x – 2) + 74(x – 2)2 + 23(x – 2)3 +
Пример 4.13. Вычислить пределы: 1) 2) 3) двумя способами – по формуле Тейлора и по правилу Лопиталя. Решение Вычислим предел по правилу Лопиталя. = = . Заметим, что второй предел в данном произведении равен 1. В первом пределе получили неопределенность вида . Тогда по правилу Лопиталя:
Вычислим предел по формуле Тейлора Разложим f(x)=arcsin x и g(x)=arctg x до членов третьего порядка по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: . Найдем значение функции f(x)=arcsin x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле. Тогда . Найдем значение функции g(x)=arctg x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле. Тогда . В итоге получаем 2) . Вычислим предел по правилу Лопиталя
Вычислим предел по формуле Тейлора Разложим функции f(x)= и g(x)= до членов третьего порядка по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
. Найдем значение функции f(x)= в точке , а также первые три производные этой функции в нуле. Тогда Найдем значение функции g(x)=sin x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле. Тогда 3) Вычислим предел по правилу Лопиталя
Вычислим предел по формуле Тейлора Разложим функции f(x)=cos5 x и g(x)= ln(1 – 4 x) до членов четвертого порядка по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: Тогда при имеем: Тогда при имеем: В итоге получаем: Исследование функций одного переменного с помощью производной.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; просмотров: 291; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.222.220.101 (0.013 с.) |