Дифференциальное исчисление функции одного переменного.

Производная функции, ее геометрический смысл.

 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда для любой точки разность обозначается и называется приращением аргумента, соответствующая разность значений функции обозначается и называется приращением функции. Так как , то = .

 

Производной функции y = f (x) в точке х ₀ называется предел отношения приращения функции Δ f (x ₀, Δ x) к соответствующему приращению аргумента Δ x, если приращение аргумента стремится к нулю:

Геометрический смысл производной

Рис.4. 1

Рассмотрим график некоторой функции , непрерывной на интервале (a, b) (рис 4.1). Пусть точки , - произвольные точки, лежащие на кривой (). Прямая MN называется секущей. Отношение равно угловому коэффициенту прямой, проходящей через точки M и N. Пусть , тогда точка N стремится к точке M. Если существует производная , т.е.существует предел отношения , то секущая MN стремится к прямой, проходящей через точку M с угловым коэффициентом . Предельное положение секущей MN при стремлении N к M называется касательной к графику функции в точке M.

Значение производной функции f (x) в точке x ₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

f ¢(x ₀) = k = tg j.

Тогда

y – f (x ₀) = f ¢(x ₀)·(x – x ₀) –

уравнение касательной к графику функции в точке х ₀.

Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в точке .

Тогда

x – x ₀ + f ¢(x ₀)·(y – f (x ₀)) = 0 –

уравнение нормали к графику функции в точке х ₀.

 

Основные правила нахождения производных

Пусть с = const, v = v (x) и u = u (x) – некоторые функции, дифференцируемые в точке . Тогда:

1) (c)¢ = 0; 2) (x)¢ = 1;

3) (u + v)¢ = u ¢ + v ¢; 4) (u – v)¢ = u ¢ – v ¢;

5) (c u)¢ = c u ¢; 6)

7) (u v)¢ = u ¢ v + u v ¢; 8) , v ¹ 0;

9) , v ¹ 0.

Таблица производных основных функций

1) (х^а)¢ = a x^{a– 1};

2) (a^x)¢ = a^x ln a, ; (e^x)¢ = e^x;

3) ;

4) (sin x)¢ = cos x;

5) (cos x)¢ = –sin x;

6) (tg x)¢ = ;

7) (ctg x)¢ = ;

8) (arcsin x)¢ = ;

9) (arсcos x)¢ = ;

10) (arctg x)¢ = ;

11) (arcctg x)¢ = ;

12) (log _a x)¢ = ;

13) (sh x)¢ = ch x; 14) (ch x)¢ = sh x;

15) (th x)¢ = ; 16) (cth x)¢ = .

Правило дифференцирования сложной функции

Если функции и дифференцируемы соответственно в точках и , где y ₀ = f (x ₀), то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке , причем

z ¢(x ₀) = g ¢ (y ₀) f ¢(x ₀).

Правая и левая производная.

Правой производной функции в точке называется величина

, если указанный предел существует.

Левой производной функции в точке называется величина

, если указанный предел существует.

Для существования производной в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция имела правую и левую производные, и эти производные были равны между собой:

.

Логарифмическая производная

Если функция y = f (x) – дифференцируемая в точке функция и , то логарифмической производной называется

.

Функция вида (u(x)>0), где и основание и показатель изменяются вместе с независимой переменной x, называется степенно-показательной. Простейшим примером такой функции является функция .

Для дифференцирования степенно-показательной функции можно применить формулу

.

Например, найдем производную от функции :

Найти производную функции можно и с помощью следующих свойств логарифмической функции: .

Тогда

.

.

Для функции имеем:

.

Тогда

.

Формулу можно использовать для дифференцирования некоторых сложных функций.

Например, для нахождения производной от произведения

удобно применить логарифмическую производную, что позволит быстрее найти результат. Тогда

)=

Пример 4. 1. Найти производные следующих функций:

1) y = – x ⁴+ x ³+2 х ²+3 x +2 в точке x ₀ = – 1;

2) в точке x ₀ = 2;

3) y = в точке х ₀ = 1;

4) y = в точке х ₀ = 0;

5) ; 6) ;

7) y = 6 ^x sin x; 8) y = sin^–1(2 x)–log₂(2 x –3);

9) ; 10) ;

11) y = –log₂⁵(– x +2). 12) y = ;

13) y = ;

14) y = ;

15) y = 16) y = – x ^{arctg(2 x )};

17) y =

Решение

а) y = – x ⁴+ x ³+2 х ²+3 x +2 в точке x ₀= – 1.

y ' = (– x ⁴ + x ³ + 2 х ² + 3 x + 2)' = (– x ⁴)' + (x ³)' + 2(х ²)' + 3(x)' + 0 =
= – 4 x ³ + 3 x ² +4 х + 3.

Тогда

y '(–1) = –4(–1)³ + 3(–1)² + 4(–1) + 3 = 4 + 3 – 4 + 3 = 6.

б) в точке x ₀ = 2.

Преобразуем функцию:

Тогда

y ' = .

y '(2)

3) y = в точке х ₀ = 1.

Преобразуем функцию

.

Тогда

y '

y' (1)

4) y = в точке х ₀ = 0.

y ' =

y '(0) = 8.

5) .

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f (g (x))¢ = f (g (x))¢× g ¢ (x).

y ' =

6)

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f (g (x))¢ = f ¢ (g (x))× g ¢ (x).

y ' =

7) y = 6 ^x sin x.

Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций: (uv)¢ = u ¢ v + uv ¢.

y ' = (6 ^x)'sin x + 6 ^x (sin x)' = 6 ^x ln6 sin x + 6 ^x cos x.

8) y = sin^–1(2 x)–log₂(2 x –3).

По правилу нахождения производной сложной функции:

y ' = (–1)sin^–22 x (sin2 x)' – (log₂(2 x –3))' = –sin^–22 x (cos2 x)(2 x)' –
– (2 x –3)' = –2 –

9)

Воспользуемся правилом нахождения производной частного:

=

10) .

Преобразуем функцию

.

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f (g (x))' = f ' (g (x))× g ' (x).

y '

11) y = –log₂⁵(– x +2).

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f (g (x))' = f ' (g (x))× g ' (x).

 

y ' = –(log₂⁵(– x + 2))' = –5log₂⁴(– x + 2)(log₂(– x + 2))' =

12) y =

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f (g (x))' = f ' (g (x))× g ' (x), а также нечетностью функции и четностью функции .

 

y ' =

13) y =

По правилу дифференцирования сложной функции:

y ' =

14) y =

По правилу дифференцирования сложной функции:

y ' =

15) y =

По правилу дифференцирования сложной функции:

 

y ' = =
= =

16) y = – x ^{arctg(2 x)}.

y ' = –(x ^{arctg(2 x )})'.

Данная функция не является ни показательной, ни степенной. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся предварительным логарифмированием:

y ₁' = y ₁(ln y ₁)',

где у ₁ = x ^{arctg(2 x )};

ln у ₁ = ln x ^{arctg(2 x)} = arctg (2 x) ln (x);

(ln у ₁)' = (arctg (2 x))'ln (x) + arctg (2 x)(ln (x))' =

тогда

y ' = – y ₁(ln y ₁)'= – x ^{arctg(2 x)}

17) y =

Функция не является ни показательной, ни степенной. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся предварительным логарифмированием:

ln y = ln

=

y ' = y (ln y)' =

Пример 4.2. Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графикам функций
1) y = в точке с абсциссой х ₀ = 0;
2) у = в точке с абсциссой х ₀ = -1.

Решение

1)Пусть y = , х ₀=0.

y = f (x ₀) + f '(x ₀)(x – x ₀) - уравнение касательной;

(x – x ₀) + f '(x ₀)(y – f (x ₀)) = 0 - уравнение нормали.

Найдем значение функции в точке х ₀=0:

f (x ₀) = f (0) = .

Найдем производную функции y = :

f '(x) =

Тогда значение производной в точке х ₀=0:

f '(x ₀) = f '(0) .

Запишем уравнение касательной:

y = + (x – 0).

Запишем уравнение нормали:

(x – 0) + (y + ) = 0;

x – y – = 0.

Итак, y = – – уравнение касательной к графику функции y = в точке с абсциссой х ₀=0.

 

Итак, x – y – = 0 –уравнение нормали к графику функции y = в точке с абсциссой х ₀=0.

б) у = , х ₀ = -1.

y = f (x ₀) + f '(x ₀)(x – x ₀) - уравнение касательной;

(x – x ₀) + f '(x ₀)(y – f (x ₀)) = 0 - уравнение нормали.

Найдем значение функции в точке х ₀= -1:

f (x ₀) = f (-1) = =

Найдем производную функции у = :

f '(x) = = = = .

Тогда значение производной в точке х ₀= -1:

f '(x ₀) = f '(-1) = = .

Запишем уравнение касательной:

y =1+2 (x +1) =2 x +3.

Запишем уравнение нормали:

(x +1)+2 (y –1) = 0;

x +1 +2 y -2= 0.

Итак, y = 2 x+ 3 – уравнение касательной к графику функции у = в точке с абсциссой х ₀ = -1.

 

Итак, x +2 y –1 = 0 – уравнение нормали к графику функции у = в точке с абсциссой х ₀ = -1.