Боровская теория водородоподобного атома.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): существуют стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает энергию.

Этим стационарным состояниям соответствуют вполне определенные (стационарные) орбиты, по которым движутся электроны. При движении по стационарным орбитам электроны, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают электромагнитных волн.

Правило квантования орбит Бора утверждает, что в стационарном состоянии атома электрона, двигаясь по круговой орбите, должен иметь квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

 

или

(8.14)

где m – масса электрона; – скорость электрона на n -й орбите; r_n – радиус n- й стационарной орбиты; ħ – постоянная Планка; n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3, …).

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией равной разности энергий соответствующих стационарных состояний:

(8.15)

где и - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения), где R – постоянная Ридберга ( ), n – главное квантовое число.

Радиус n -й стационарной орбиты:

(8.16)

где а ₀ – первый боровский радиус ( м).

Энергия электрона в атоме водорода:

(8.17)

где – энергия ионизации атома водорода ( Дж).

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода:

(8.18)

 

или

(8.19)

где n ₁ и n ₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число:

(8.20)

где λ – длина волны излучения или поглощения атомом; R – постоянная Ридберга; n ₁ и n ₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Физика твердого тела

Средняя энергия квантового одномерного осциллятора:

,

(8.21)

где - нулевая энергия (); - постоянная Планка; - круговая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана ( Дж/К); T – абсолютнаятемпература.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов:

(8.22)

где R – универсальная газовая постоянная; - характеристическая температура Эйнштейна; - молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

Молярная теплоёмкость кристаллического твёрдого тела в области низких температур (предельный закон Дебая):

(.

(8.23)

Теплота, необходимая для нагревания тела:

,

(8.24)

где m – масса тела; M – молярная масса; T₁ и T₂ – начальная и конечная температуры тела.

Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К:

,

(8.25)

где dn(ε) – концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от ε до ε + d ε; m – масса электрона. Это выражение справедливо при ε < ε_F (где ε_F – энергия или уровень Ферми).

Энергия Ферми в металле при Т=0 К:

,

(8.26)

где n - концентрация электронов в металле.

Удельная проводимость собственных полупроводников:

,

(8.27)

 

где Δ E – ширина запрещённой зоны; γ₀ – константа; k – постоянная Больцмана ( Дж/К); T – абсолютная температура.

Сила тока в p-n – переходе:

(8.28)

где I ₀ – предельное значение силы обратного тока; U – внешнее напряжение, приложенное к p-n – переходу; k – постоянная Больцмана ( Дж/К); T – абсолютная температура; е – элементарный заряд Кл).

Внутренняя контактная разность потенциалов:

,

(8.29)

где и - энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; e – заряд электрона.

 

Ядерная физика

Ядром называется центральная часть атома, в которой сосредоточены практически вся масса атома и его положительный электрический заряд.

Атомное ядро состоит из элементарных частиц – протонов и нейтронов (протонно - нейтронная модель ядра была предложена российским физиком Д. Иваненко, а в последствии развита В. Гейзенбергом). Протоны и нейтроны называются нуклонами.

Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):

(8.30)

где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.

Энергией связи нуклона в ядре называется физическая величина, равная работе, которую нужно совершить для удаления нуклона из ядра, не сообщая ему кинетической энергии.

Энергия связи ядра определяется той работой, которую нужно совершить, чтобы расщепить ядро на составляющие ее нуклоны, не сообщая им кинетической энергии. При образовании ядра происходит уменьшение его массы: масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов. Уменьшение массы ядра объясняется выделением энергии связи, то есть

(8.31)

где - энергия связи ядра; с – скорость света в вакууме.

называется дефектом массы и характеризует уменьшение суммарной массы при образовании ядра из составляющих его нуклонов.

Если ядро с массой образовано из Z протонов с массой и из (A - Z) нейтронов с массой , то дефект массы ядра:

 

	(8.32)

где - зарядовое число (число протонов в ядре); - массовое число (число нуклонов в ядре); () - число нейтронов в ядре; - масса протона ( = кг); - масса нейтрона ( = кг); - масса ядра.

Дефект массы служит мерой энергии связи ядра:

	(8.33)

где - дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна где дефект массы - в а. е. м.; 931 – коэффициент пропорциональности (1 а. е. м. ~ 931 МэВ).

Ядерными реакциями называются превращения атомных ядер, вызванных взаимодействием их друг с другом или с элементарными частицами.

В ядерных реакциях участвуют два ядра и две частицы. Одна пара ядро – частица является исходной, другая пара – конечной. Символическая запись ядерной реакции:

,

(8.34)

 

где А и В – исходное и конечное ядра; a и b – исходная и конечная частицы в реакции (например: a и b – это такие частицы как α - частица, β - частица, n - нейтрон, p - протон, e⁺ - позитрон).

Ядерная реакция характеризуется энергией Q ядерной реакции, равной разности энергий конечной и исходной пар в реакции. Если Q<0, то реакция идет с поглощением энергии и называется эндотермической; если Q>0, то реакция идет с выделением энергии и называется экзотермической.

Закон радиоактивного распада:

или

(8.35)

где - число ядер, распадающихся за интервал времени ; - число ядер, не распавшихся к моменту времени ; - число ядер в начальный момент (); - постоянная радиоактивного распада ().

Число ядер, распавшихся за время :

 

(8.36)

 

В случае, если интервал времени , за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада (периодом полураспада называется интервал времени, в течение которого распадается половина ядер), то число распавшихся ядер можно определить по формуле:

 

.

 

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:

(8.37)

 

В ядерных реакциях выполняются законы сохранения энергии, импульса, электрического заряда и массовых чисел.

Закон сохранения массовых чисел:

(8.38)

Закон сохранения зарядового числа:

(8.39)

 

При α – распаде распадающее «материнское» ядро испускает α – частицу и превращает в «дочернее» ядро элемента Y.

 

.

(8.40)

 

Дочерний элемент Y имеет атомный номер на две единицы меньший и, следовательно, сдвинут относительно Х на две клетки влево по таблице Менделеева.

При β – распад происходит испускание отрицательно заряженного электрона (то есть β = e)

.

(8.42)

 

Уравнения (8.40) и (8.41) носят название правил радиоактивного смещения.

 

а) электронный β_-– распад: ядро испускает электрон и электронное антинейтрино ; распад происходит при превращении одного вида нуклона в другой: нейтрона в протон по следующей схеме:

 

.

(8.43)

 

б) позитронный β₊ – распад: ядро испускает позитрон е⁺ и электронное нейтрино ν_e, процесс происходит при превращении протона в нейтрон по следующей схеме:

 

.

(8.44)

 

,

(8.45)

 

и заключается в том, что исчезает один из электронов на ближайшем к ядру слое. Протон, превращаясь в нейтрон, как бы захватывает электрон. Электронный захват сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.

3) γ – излучение является жестким электромагнитным излучением, энергия которого испускается при переходе ядер из возбужденных энергетических состояний в основное или менее возбужденные состояния, а также при ядерных реакциях.

Среднее время жизни радиоактивного ядра, то есть интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшится в е раз:

 

(8.46)

 

Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

,

(8.47)

где m – масса изотопа; M – молярная масса; - постоянная Авогадро ( ).

Активность A радиоактивного изотопа:

 

или

(8.48)

где - число ядер, распадающихся за интервал времени ; - активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопа:

 

(8.49)

Примеры решения задач

Задача 8.1. Электрон в атоме водорода перешел с четвёртого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

 

Дано: n1 =2, n2 =4, Z=1

Найти: ε =?

Решение:

 

 

Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов (8.20):

 

(1)

 

где λ – длина волны фотона; R = 3,29·10¹⁵ c^-1– постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z=1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n ₁– номер орбиты, на которую перешел электрон; n ₂ – номер орбиты, с которой перешел электрон (n ₁ и n ₂ – главные квантовые числа).

Согласно формуле (8.25), энергия фотона ε равна:

 

(2)

 

Умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:

 

(3)

 

Так как Rhc есть энергия ионизации E₁ атома водорода, то:

 

(4)

 

Вычисления производим в Международной системе СИ:

E_i = 21,76·10^-19 Дж

= = Дж.

Ответ: ε = Дж.

Задача 8.2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U ₁=51 В; 2) U ₂=510 кВ.

 

Дано: m0=9,1·10^-31 кг, 1) U 1=51 В, 2) U 2=510 кВ = =510·10^3 В

Найти: =?

Решение:

 

Длина волны де Бройля согласно формуле (8.2), равна:

, (1)

 

Согласно формуле (8.6), имеем (в нерелятивистском случае):

(2)

где m ₀ – масса покоя частицы.

(в релятивистском случае):

 

,

(3)

где E₀ = m₀c² – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) (в нерелятивистском случае) имеет вид:

(4)

(в релятивистском случае):

 

.

(5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U ₁= 51 В и U ₂= 510000 В, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна:

 

T = e U.

(6)

 

В первом случае, T ₁ = e U = Дж, что много меньше энергии покоя электрона E₀ = m₀·c² = Дж. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Так как T ₁=10^-4 · m₀c^2,, тогда выражение (4), имеет вид:

(7)

Согласно формуле (8.32), есть комптоновская длина волны, тогда выражение (7), имеет вид:

Во втором случае кинетическая энергия T ₂ = eU ₂ = Дж, то есть равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5).

(8)

 

или

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины волны (м). Для этого в правую часть формулы (7) вместо величин подставим их единицы:

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

м = 171 пм;

м = 1,4 пм.

 

Ответ: = 171 пм; = 1,4 пм.

 

Задача 8.3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T= 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Дано: T= 10 эВ = 16∙10^-19Дж, m0=9,1·10^-31 кг

Найти: =?

Решение:

 

Согласно уравнению (8.7), имеем:

(1)

Из соотношения неопределённостей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится импульс, а следовательно, энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, и тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью:

	(2)

С учетом уравнения (2) соотношение неопределённостей (1) имеет вид:

(3)

Тогда

(4)

Физически разумная неопределённость импульса Δ р_х, во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р_х, т.е. Согласно (8.6), имеем: . Заменим Δ р_х значением (такая замена не увеличит l). Переходя в уравнении (4) от неравенства к равенству, получим:

(5)

Проверим, даёт ли полученная (5) формула единицу длины (м). Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

Ответ: = 124 нм.

Задача 8.4. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале Δ l =0,01 l в двух случаях: 1) вблизи стенки ; 2) в средней части ящика .

 

Дано: Δ l =0,01 l 1) ; 2)	Решение:   1. Запишем уравнение волновой функции (1) 2. Согласно уравнению (8.10), вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x+dx), (2)
Найти:	3. Подставляя уравнение (1) в (2), получим, что вероятность нахождения частицы вблизи стенок ящика
	(3)

Так как x изменяется в интервале и, следовательно, , справедливо приближенное равенство , т.е.

.

(4)

С учетом (4) уравнение (3) примет вид:

Так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Δ l =0,01 l) практически не изменяется, во втором случае интегрированием можно пренебречь. Поэтому искомая вероятность во втором случае определяется выражением

 

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

 

Ответ: w₁ =6,6·10^-6, w₂ =0,02.

Задача 8.5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

 

Дано: А =7 Z =3	Решение:   Согласно формуле (8.32), дефект массы ядра есть разность между суммой масс свободных нуклонов и массой ядра, то есть: . (1)
Найти: Δm -? E –?	Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома, то есть .

 

Откуда

.

(2)

Подставляя (2) в уравнение (1), получаем

 

(3)

 

Учитывая, что , где m_H – масса атома водорода, находим

 

(4)

Числовые значения масс находим из таблицы в приложении.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии, согласно формуле (8.24)

.

(5)

Подставляя уравнение (4) в (5), получаем

Вычисления:

 

 

Ответ: Δm=0,689 10^-28 кг, W_св =6,201 10^-12 Дж.

 

Задача 8.6. При соударении α-частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить её энергетический эффект.

 

Дано: , ,

Найти: =? Q =?

Решение:

 

1. Обозначим неизвестное ядро символом . Так как α- частица представляет собой ядро гелия , то запись реакции имеет вид:

 

(1)

 

2. Согласно формулам (8.38), (8.39), имеем:

 

4 + 10 = 1 + А А = 13, 2 + 5 1 + Z Z= 6.

неизвестное ядро является ядром изотопа углерода .

3. Тогда реакция имеет вид:

 

(2)

 

Согласно формуле (8.33), имеем:

 

Q = 9

(3)

 

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках - массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчётах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность ₀такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Вычисления производим в Международной системе единиц:

=

= Дж.

 

Ответ: Q = Дж.

 

Задача 8.7. Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния массой m=0,2 мкг, а также его активность A через время t=6 ч. Период полураспада T_1/2 магния считать известным.

 

Дано:	Решение:   Согласно формуле (8.30), активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада
Найти: A0 -? A –?	и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:   (1)

По закону радиоактивного распада, согласно (8.25), число распадающихся ядер данного сорта N убывает со временем по экспоненциальному закону:

 

,

(2)

где N₀ – начальное число распадающихся атомов при t = 0, λ – постоянная распада.

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

.

(3)

Поставляя (3) в формулу (1), получаем:

.

(4)

Начальную активность А₀ препарата получаем при t=0:

.

(5)

Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада Т_1/2 соотношением:

 

.

(6)

Число N₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро N_А на количество вещества данного изотопа:

.

(7)

С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

 

 

Ответ: А₀=5,13 10¹² Бк, А=81,3 Бк.

 

Задача 8.8. Используя квантовую теорию теплоёмкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоёмкость с при постоянном объёме алюминия при температуре Т= 200 К. Характеристическую температуру Θ_Е Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К.

 

Дано: Т= 200 К, ΘЕ=300 К

Найти: с =?

Решение:

 

Формула удельной теплоёмкости c вещества имеет вид:

(1)

где М – молярная масса, - молярная теплоемкость.

Согласно формуле (8.23) молярная теплоёмкость при постоянном объёме имеет вид:

 

(2)

 

Подставим (2) в (1), получим:

(3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу удельной теплоемкости , для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы.

 

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

=770 ().

Ответ: с = 770 ().

Задача 8.9. Определить теплоту Δ Q, необходимую для нагревания кристалла NaCl массой m= 20 г от температуры T ₁=2 K до температуры T₂ = 4 K. Характеристическую температуру Дебая Θ для NaCl принять равной 320 К и условие T<< Θ_D считать выполненным.

Дано: NaCl, m= 20 г = 0,02 кг, T 1=2 K,

T2 = 4 K

Найти: Δ Q =?

Решение:

Согласно формуле (8.24) теплота Δ Q, подводимая для нагревания тела от температуры T ₁ до T ₂, имеет вид:

(1)

где С _Т – теплоёмкость тела.

Теплоёмкость тела связана с молярной теплоёмкостью соотношением:

(2)

где m – масса тела; M – молярная масса.

 

Подставим (2) в (1), получим:

.

(3)

 

В общем случае теплоёмкость С_m есть сложная функция температуры, поэтому выносить её за знак интеграла нельзя, если выполнено условие T<<Θ_D, то Δ Q находим по формуле (8.23), получаем:

 

(4)

 

Подставим (4) в (3), получим:

 

(5)

 

Проинтегрировав выражение (5), получим:

 

=

 

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

Дж = Дж = 1,22 мДж.

Ответ: ΔQ = 1,22 мДж.

 

Задача 8.10. Вычислить максимальную энергию ε_F (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре T= 0 К. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону.

 

Дано: T = 0 К, М = 64·10^-3 кг/моль, ρ = 8,9·10^3 кг/м^3

Найти: εF =?

Решение:

 

Согласно формуле (8.26) максимальная энергия ε_F, которую могут иметь электроны в металле при T= 0, имеет вид:

,

(1)

где ħ – постоянная Планка; m – масса электрона.

 

Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле:

(2)

где ρ – плотность меди; N_A – постоянная Авогадро; M – молярная масса.