Период колебаний пружинного маятника

, (5.47)

где k – коэффициент упругости тела, m - масса груза

Математическим маятником называется система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, совершающей колебания под действием силы тяжести (рис.5.13,б).

Период колебаний математического маятника

, (5.48)

где l – длина математического маятника, g – ускорение свободного падения.

Физическим маятником называется твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела (рис.5.13,в).

,

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; d – расстояние центра масс маятника от оси колебаний; - приведенная длина физического маятника.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

. (5.49)

Результирующая начальная фаза, получаемая при сложении двух колебаний, определяется следующим соотношением:

, (5.50)

где A₁ и A₂ – амплитуды слагаемых колебаний, φ₁ и φ₂ – их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид:

. (5.51)

Если на материальную точку, кроме упругой силы действует сила трения, то колебания будут затухающими, и уравнение такого колебания будет иметь вид

, (5.52)

где называется коэффициентом затухания (r – коэффициент сопротивления).

Логарифмическим декрементом затухания называется отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга по времени, равным периоду

. (5.53)

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины периодически меняются и сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивности L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R (рис.5.14).

Период T электромагнитных колебаний в колебательном контуре

. (5.54)

Если сопротивление колебательного контура мало, т.е. <<1/LC, то период колебаний колебательного контура определяется формулой Томсона

. (5.55)

Если сопротивление контура R не равно нулю, то колебания будут затухающими. При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со временем по закону

, (5.56)

где δ – коэффициент затухания, U₀ – амплитудное значение напряжения.

Коэффициент затухания колебаний в колебательном контуре

, (5.57)

где L – индуктивность контура, R – сопротивление.

Логарифмическим декрементом затухания называется отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга по времени, равное периоду

. (5.58)

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ω к частоте, равной или близкой собственной частоте ω₀ колебательной системы (рис.5.15.).

Условие получения резонанса:

. (5.59)

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации

. (5.60)

Для характеристики затухания колебательных контуров часто пользуются величиной, называемой добротностью контура. Добротностью контура Q называется число полных колебаний N, умноженное на число π, по истечению которых амплитуда уменьшается в e раз

. (5.61)

Если коэффициент затухания равен нулю, то колебания будут незатухающими, напряжение будет меняться по закону

. (5.62)

В случае постоянного тока отношение напряжения к силе тока называют сопротивлением проводника. Подобно этому при переменном токе отношение амплитуды активной составляющей напряжения U _а к амплитуде тока i₀ называется активным сопротивлением цепи X

. (5.63)

В рассматриваемой цепи оно равно сопротивлению постоянного тока. Активное сопротивление всегда приводит к выделению тепла.

Отношение

. (5.64)

называется реактивным сопротивлением цепи.

Наличие реактивного сопротивления в цепи не сопровождается выделением тепла.

Полным сопротивлением называется геометрическая сумма активного и реактивного сопротивления

, (5.65)

Емкостным сопротивлением цепи переменного тока X_c называется соотношение

. (5.66)

Индуктивное сопротивление

. (5.67)

Закон Ома для переменного тока записывается в виде

, (5.68)

где I_эф и U_эф – эффективные значения силы тока и напряжения, связанные с их амплитудными значениями I₀ и U₀ соотношениями

и . (5.69)

Если цепь содержит активное сопротивление R, емкость C и индуктивность L, соединенные последовательно, то cдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется формулой

. (5.70)

Если активное сопротивление R и индуктивность включены параллельно в цепь переменного тока, то полное сопротивление цепи определяется формулой

, (5.71)

и сдвиг фаз между напряжением и током определяется следующим соотношением

, (5.72)

где υ – частота колебаний.

Мощность переменного тока определяется следующим соотношением

. (5.73)

Длина волны связана с периодом следующим соотношением

, (5.74)

где c=3·10⁸м/с – скорость распространения звука.

 

 

Примеры решения задач

Задача 5.1. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого этим током, в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r₀ = 30 см от его середины.

 

Дано: l = 80 см = 0,8 м I = 50 А r0 = 30 см = 0,3 м	Решение: Магнитную индукцию поля найдем по принципу суперпозиции магнитных полей (5.3), заменив геометрическую сумму интегрированием:   , (1)
Найти:   B -?

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

 

Запишем закон Био - Савара – Лапласа для индукции магнитного поля

в векторной форме:

 

,

(2)

 

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной d l с током I в точке, определяемой радиус-вектором r; μ₀ – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае, т.к. средой является воздух, μ = 1).

Векторы от различных элементов тока сонаправлены (рис.), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме:

 

,

(3)

 

где dB определяется выражением (2), которое в скалярной форме имеет вид:

 

,

(4)

 

где α – угол между радиус-вектором и элементом тока dl.

Подставляя выражение (4) в (3), получим

 

.

(5)

 

Из рисунка найдем: , где .

 

С учетом этого уравнение (5) примет вид:

 

,

(6)

 

где α₁, α₂ – пределы интегрирования.

Проинтегрировав выражение (5), получим

 

.

(7)

 

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos α₂ = - cos α₁.

С учетом этого формула (7) примет вид

 

(8)

 

Из рисунка следует, что

 

(9)

 

Подставляя формулу (9) в (8), получим

 

 

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу индукции магнитного поля (Тл)

 

Вычисления:

Тл.

 

Ответ: B = 26,7·10^-6 Тл.

Задача 5.2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут токи в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого – r₂ = 12 см.

 

Дано: I = 60 А d = 10 см = 0,1 м r1 = 5 см = 0,05 м r2 = 12 см = 0,12 м	Решение: Для нахождения магнитной индукции в точке A воспользуемся принципом суперпозиции (5.3)
Найти: B -?

Модуль вектора магнитной индукции найдем по теореме косинусов:

 

, (1)

 

где α – угол между векторами B₁ и B₂.

Магнитные индукции B₁ и B₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А:

(2)

 

Поставляя выражение (2) в (1), и вынося за знак корня, получим

 

.

(3)

 

Из рисунка видно, что α = Ð DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами).

Из треугольника DAC по теореме косинусов, найдем cosα

 

(4)

 

Подставляя выражение (4) в (3), получим

 

.

(5)

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу индукции магнитного поля (Тл)

 

Вычисления:

Тл

 

Ответ: B = 3,08·10^-4 Тл.

 

Задача 5.3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см.

 

Дано: R = 10 см = 0,1 м I = 80 А r = 20 см = 0,2 м	Решение: По закону Био – Савара - Лапласа (5.8.)   , (1)   где – магнитная индукция поля, создаваемая элементом тока Idl в точке,
Найти: B -?

определяемой радиус-вектором .

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор r (рис). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей (5.3), магнитная индукция B в точке А определяется интегрированием

 

,

(1)

 

где интегрирование ведется по всем элементам d l кольца.

Разложим вектор dB на две составляющие dB_┴, перпендикулярную плоскости кольца, и dB _||, параллельную плоскости кольца, т.е.

 

(2)

 

Подставляя выражение (2) в (1), получим

.

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов d l сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрированием) скалярным:

,

(3)

 

где и (поскольку d l перпендикулярен r и, следовательно, sinα = 1).

С учетом этого формула (3) примет вид

 

.

(4)

 

Из рисунка видно, что .

Следовательно, формула (4) примет вид

 

(5)

 

Проверим, дает ли правая часть равенства (5) единицу магнитной индукции

 

Вычисления:

Тл.

Ответ: B = 6,28·10^-5 Тл.

Задача 5.4. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом α = 2π/3. Определить магнитную индукцию в точке А (рис. к задаче 5.4., а). Расстояние d = 5 см.

 

Дано: I = 50 А α = 2π/3 d = 5 см = 0,05 см	Решение: Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис. к задаче 5.4., б). В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций и полей, создаваемых отрезками 1 и 2
Найти: В -?

 

.

 

Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что в точках, лежащих на оси провода, магнитная индукция dB=0 (т.к. ).

Следовательно, магнитная индукция B₂ = 0.

Согласно формуле (5.9), магнитная индукция B₁ определяется соотношением

 

,

(1)

где r₀ – кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (рис. к задаче 5.4., б).

В нашем случае, т.к. провод длинный α₁→0, α₂ = α = 2π/3 (cosα₂ = cos(2π/3) = - 1/2).

Из рисунка следует, что .

С учетом этого формула (1) примет вид

 

 

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

 

Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рисунке 5.4.,б это направление отмечено крестиком в кружочке (т.е. перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).

Вычисления:

Тл.

 

Ответ: B = 3,46·10^-5 Тл.

 

Задача 5.5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис. к задаче 5.5., а). По проводам текут токи I₁ = 80 А и I₂ = 60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию B в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

 

 

Дано: I1 = 80 А I2 = 60 А d = 10 см = 0,1 м	Решение:   В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций и , создаваемых токами I1 и I2   .
Найти: B -?

Из рисунка следует, что векторы B₁ и B₂ взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис. к задаче 5.5.,б).

Тогда модуль вектора B можно определить по теореме Пифагора:

 

(1)

 

Напряженность магнитного поля, согласно (5.8), созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником,

 

,

(2)

 

где r – расстояние от точки, где находится напряженность, до проводника с током.

Согласно формуле (5.6), магнитная индукция B связана с напряженностью H магнитного поля соотношением

 

,

(3)

 

где μ – относительная магнитная проницаемость среды (в нашем случае μ = 1).

Подставляя формулу (2) в (3), найдем магнитные индукций B₁ и B₂, создаваемых токами I₁ и I₂

 

и

(4)

 

По условию задачи, r₀ = d/2.

С учетом этого выражение (4) примет вид

 

и

(5)

 

Подставляя формулу (4) в (1), получим

 

 

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

 

Вычисления:

Тл.

 

Ответ: B = 4·10^-6 Тл.

 

Задача 5.6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рисунке к задаче 5.6, а. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 A, текущим по этому проводу.

Дано: I = 80 A R = 10 см = 0,1 м	Решение: По принципу суперпозиции магнитных полей (5.3), магнитная индукция в точке О:   .
Найти:   B -?

 

В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. к задаче 5.6, б): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом, уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R.

Тогда

,

(1)

где - магнитные индукции в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то .

С учетом этого, уравнение (1) примет вид:

 

(2)

 

Учитывая, что векторы направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

 

(3)

 

Магнитную индукцию B₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

 

.

 

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

 

.

(4)

 

Магнитную индукцию B₃ найдем, воспользовавшись соотношением (5.9):

 

(5)

 

В нашем случае r₀ = R, α₁ = π/2 (cos α₁ = 0), α₂ → π (cos α₂ = -1).

Тогда

 

.

(6)

 

Подставляя формулы (4), (6) в (3), получим

 

 

или

 

 

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу магнитной индукции (Тл):

 

Вычисления:

 

Тл.

 

Ответ: B = 3,31·10^-4 Тл.

 

Задача 5.7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 см каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

 

Дано: l = 2,5 см = 0,025 м d = 20 см = 0,2 м I = 1 кА = 1•10^3 А	Решение: Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод. Предположим, что оба тока (обозначим их для удобства I1 и I2) текут в одном направлении.
Найти: F -?

Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле. Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис.) через второй провод и по касательной к ней – вектор магнитной индукции B₁.

Рисунок к задаче 5.7

 

Модуль магнитной индукции B₁ определяется соотношением

 

.

(1)

Согласно закону Ампера (5.4), на каждый элемент второго провода с током I₂ длиной d l действует в магнитном поле сила

 

 

Так как вектор d l перпендикулярен вектору B₁, то sin(d l,B) = 1 и тогда

 

(2)

Подставив выражение (1) в (2), получим

 

 

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

 

 

Так как I₁ = I₂ = I, получим

 

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу силы (Н):

 

 

Вычисление:

 

Н.

 

Ответ: F = 2,5 Н.

 

 

Задача 5.8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Дано: U = 600 В B = 0,3 Тл	Решение: Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции .
Найти: R -?

Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение a _n.

Согласно второму закону Ньютона,

 

,

(1)

 

где m – масса протона.

На рисунке совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы a _n и F_л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора ).

Запишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):

 

.

(2)

Согласно формуле (5.19), сила Лоренца в скалярной форме имеет вид

 

.

(3)

 

С учетом того, что и sinα = 1, получим

 

.

(4)

 

Нормальное ускорение

 

.

(5)

 

Подставляя выражения (4) и (5) в (2), получим

 

.

 

Следовательно, радиус окружности

 

.

(6)

 

Заметив, что m есть импульс протона (p), выражение (6) можно записать в виде:

 

.

(7)

 

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. A = ΔT, или

 

,

 

где φ₁ – φ₂ = U– ускоряющая разность потенциалов; T₁, T₂ – начальная и конечная кинетическая энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (T₁ = 0) и выразив кинетическую энергию T₂ через импульс p, получим

 

.

 

Откуда

 

.

(8)

 

Подставляя выражение (8) в (7), получим

 

.

 

Убедимся, что правая часть полученного равенства дает единицу длины (м):

 

Вычисления:

м.

 

Ответ: R = 0,0118 м.

 

Задача 5.9. Электрон движется в однородном магнитном поле (B = 10 мТл) по винтовой линии, радиус r которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период T обращения электрона и его скорость .

 

Дано: B = 10 мТл =10·10^-3 Тл h = 6 см = 0,06 м r = 1 см = 0,01м	Решение: Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетел в однородное магнитное поле под некоторым углом (α = π/2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как показано на рисунке, скорость электрона на две составляющие: параллельную вектору B () и перпендикулярную ему ().
Найти:   T -? -?

Скорость в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению () (в отсутствие параллельной составляющей ( = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям).

Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью и равномерном движении по окружности со скоростью .

Согласно формуле (5.20), период обращения электрона в магнитном поле

 

.

(1)

 

Согласно второму закону Ньютона

 

.

(2)

 

Согласно формуле (5.19), сила Лоренца в скалярной форме имеет вид

 

.

 

С учетом того, что sinα = 1, получим

 

.

(3)

 

Нормальное ускорение

 

.

(4)

 

Подставляя выражения (4) и (3) в (2), получим

 

.

 

Следовательно, скорость электрона

 

.

(5)

 

Подставляя полученное выражение в формулу (1), получим

 

(6)

 

Модуль скорости электрона

 

(7)

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения T, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. , откуда

 

(8)

 

Подставляя выражение (6) в (8), получим

 

 

Таким образом, модуль скорости электрона

 

.

(9)

 

Убедимся в том, что правая часть равенств (6) и (9) дает единицы времени (с) и скорости (м/с) соответственно:

 

 

.

Вычисления:

с.

 

м/с

 

Ответ: T = 3,57·10^-9 с, = 2,46·10⁷ м/с.

Задача 5.10. Альфа – частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E = 10 кВ/м) и магнитное (B = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа - частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.