Применение методов линейной алгебры в экономике

Математика и экономика-это самостоятельные области знаний, которые имеют свой объект и предмет исследования. Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики, который называется, матричная алгебра, имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме.
Матричной алгеброй называют область математики, которая изучает алгебраические операции над числовыми массивами, записанными в форме строк и столбцов. Матричная алгебра относится к числу наиболее важных для экономистов областей математики. Объясняется это тем, что записываются в матричной форме: математические модели отражающие взаимосвязи экономических структур, динамику их развития, многообразие действующих факто-ров. Это в свою очередь позволяет использовать современные методы матричной алгебры в экономических исследованиях и расчетах. Чтобы интерпретировать математически закономерности реальных явлений в экономике, используют математические модели относительно одной или нескольких переменных. Ни одна модель не может полностью отражать все многообразие действительного мира и является лишь некоторым его приближением. Широкое распространение в экономических исследованиях получили линейные модели, которые нередко с высокой точностью соответствуют описываемым ими явлениям. Многие линейные модели сводятся к системам алгебраических линейных уравнений или неравенств.
Между экономикой и математикой существует как прямая, так и обратная связь: создание нового математического аппарата и его применение позволяет экономике по-новому решать существующие задачи.
Экономика ставит перед математикой новые задачи и стимулирует поиск методов их решения.
Применение математики в экономических исследованиях, позволяет объяснить прошлое, увидеть будущее и оценить последствия действий, которые потребует еще огромных усилий, новых фундаментальных знаний. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности. Например, различные таблицы, которые содержат в себе разные данные, какого-либо предприятия. Рассмотрим на примере задач экономического содержания.

Производственные показатели

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в следующей таблице:

вид изделия	количество изделий	расход сырья, кг/изд.	норма времени изготовления, ч/изд.	цена изделия, ден.ед./изд.

 

 

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.
По приведенным данным составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора:

Расход сырья

Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение: Составим вектор-план выпуска продукции:

=(60, 50, 35, 40).

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

Конечный продукт отрасли

Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое: обозначим объем продукции i-го предприятия через х_i. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Пусть а_ij - доля продукции i-го предприятия, потребляемая j-м пред-приятием для обеспечения выпуска своей продукции объема х_j. Найдем величину у_i - количество продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

Введем в рассмотрение квадратную матрицу порядка n, описывающую внутреннее потребление отрасли

A=(a_ij), i, j = 1, 2,..., n

Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения

с использованием единичной матрицы Е получаем

Пример. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют, соответственно, вид

Получим вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из трех предприятий:

Прогноз выпуска продукции

Пусть C=(c_ij), i=1, 2,..., m, j=1, 2,..., n - матрица затрат сырья m видов при выпуске продукции n видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор , вектор-план выпуска продукции определяется из решения системы m уравнений с n неизвестными:

где индекс "т" означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства представлены следующими данными:

Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.
Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через х₁, х₂ и х₃. Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах): x₁=150, x₂=250, x₃=100.